2022 Fiscal Year Research-status Report

L-space予想に関連したトート葉層構造と基本群の左順序付け可能性に関する研究

Research Project

Project/Area Number	19K03460
Research Institution	Akita University
Principal Investigator	中江康晴秋田大学, 理工学研究科, 講師 (80506741)
Project Period (FY)	2019-04-01 – 2024-03-31
Keywords	トート葉層構造 / 左順序付け可能基本群 / アノソフ流 / Birkhoff section / essential lamination / 結び目群の全射準同型
Outline of Annual Research Achievements	本研究課題の目的は、3次元多様体の位相的性質をよく表すトート葉層構造の存在とその基本群の左順序付け可能性の関係を、Boyer、Gordon、Watsonらによって提示されたL-space予想と合わせて研究することである。 2021年度に出版された市原一裕氏との共著論文で扱ったアノソフ流の研究に関連して、野田健夫氏と８の字結び目補空間におけるアノソフ流の閉軌道をBirman-Williamsのテンプレート理論を用いて研究した。それらのうち、周期が２と３のものをリスト化しそれらについての例外手術となるスロープを計算により得た。またそれらによる手術でR-coveredアノソフ流が得られないスロープの組み合わせについて研究を行った。さらにアノソフ流の手術に関する研究として、野田健夫氏と球面上の３つの特異点をもつorbifoldにおける単位接束の測地流における、Birkhoff sectionについての研究を行い、特に、Dehornoyによる構成とは異なる閉測地線を用いた境界数が１のBirkhoff sectionの構成について研究を行っており、現在も継続中である。市原一裕氏とは、左順序付け可能な基本群を用いてトート葉層構造を構成するTao Liのプレプリントの結果に対して、Tao Liの結果がヒーガード種数が２の場合に限定されているため、これを一般の種数にした場合の、essential laminationの構成についての研究を行った。さらに北野晃朗氏と、結び目補空間の基本群である結び目群のあいだの全射準同型に関して、その準同型が写像度０の連続写像から誘導されるような結び目の組にどのようなものがあるかについて研究を行い、曲面束結び目となるモンテシノス結び目と８の字結び目の組で条件を満たすものを得た。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 本研究課題では、トート葉層構造の構成と、基本群が左順序付け可能となるため、またはならないための条件に着目して研究を進めている。2021年に出版された論文で用いたアノソフ流の閉軌道に沿った手術の手法を発展させるため、野田健夫氏と定期的にオンラインの研究打ち合わせをすることで共同研究を進め、８の字結び目補空間におけるアノソフ流の閉軌道をBirman-Williamsのテンプレートを用いて、周期２と３について具体的に全て得て、それらに沿った例外手術を計算によって得た。またそれら手術によって得られるアノソフ流が、基本群の左順序付け可能性と結びつくR-coveredアノソフ流となるかについて、計算機によるシミュレーションを行った。さらに、懸垂アノソフ流を作り出すBirkhoff sectionの構成に関連して、８の字結び目に沿った手術で得られるorbifold上の単位接束における測地流に対するBirkhoff sectionの構成を進めている。また、市原一裕氏と、Tao Liによるプレプリントの結果を拡張する手法として、左順序付け可能基本群をもつ３次元多様体にessential laminationを構成する方法について、一般のヒーガード種数を持つ場合における研究を行った。これは、基本群の左順序からトート葉層構造を構成する方向性の研究として、新たな方向のものである。さらに、2022年度後半から、北野晃朗氏と結び目群のあいだの全射準同型と、それを誘導する写像度０の連続写像についての共同研究を行い、曲面束結び目となるモンテシノス結び目と８の字結び目の組みでそのような性質を持つものを、結び目のsymmetric union構成と関連付けて考察した。
Strategy for Future Research Activity	アノソフ流の閉軌道に沿った手術の手法により得られる多様体の性質について、本研究課題のテーマであるL-space予想に関連して、基本群の左順序付け可能性に結びつくR-covered Anosov flowが得られる手術と、R-covered Anosov flowにならない手術の観点から研究を行う。特に８の字結び目補空間に構成される懸垂アノソフ流に着目する。８の字結び目に沿ったスロープ1手術により、球面に(2,3,7)型特異点を持つorbifold上の単位接束が得られ、そこにおける測地流に対するBirkhoff sectionでmonodromyが８の字結び目補空間の曲面束のmonodromyと等しくなるものがDehornoyによって与えられている。これと対比して、スロープ2手術によって(2,4,5)型特異点をもつorbifold上の単位接束が得られることから、同様に８の字結び目補空間の曲面束のmonodromyと等しくなるmonodromyを持つBirkhoff sectionを構成する共同研究を野田健夫氏と行う。左順序付け可能な基本群をもつ３次元多様体からトート葉層構造を構成する方向の研究はあまり多くないが、その一つの手法としてTao Liによるヒーガード種数２の多様体における、分岐局面を用いたものがある。これを一般の種数の場合に、特にessential laminaitonを構成する手法の研究を市原一裕氏と行う。結び目群の間の全射準同型であって写像度０の連続写像から誘導されるものの研究もあまりなされていないため、特に８の字結び目や三葉結び目の結び目群への全射準同型を持つようなものに着目して、北野晃朗氏と共同研究を行う。
Causes of Carryover	研究遂行のために関連する研究集会に参加し、共同研究者やその他研究者との議論を行なったり、前年度の研究成果を発表する予定であったが、新型コロナウィルス感染症の蔓延のため移動が制限されたり、オンライでの研究集会があったため、計画通りの出張を行うことができず、旅費として予定した予算を使用することができなかった。研究期間を延長し、2023年度は状況の改善により国内外への出張を行うことを計画し、またコンピュータによる計算を進めるために、さらなるコンピュータ機器や数式処理ソフト等の購入を行う。