2020 Fiscal Year Research-status Report
Construction of harmonic maps into hyperbolic space and applications to surface theory in homogeneous spaces
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19K03461
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
井ノ口 順一 筑波大学, 数理物質系, 教授 (40309886)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | ガウス写像 / 調和写像 / ハイゼンベルグ群 / リー球面幾何 / 統計リー群 / 磁場曲線 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の主要課題である「調和写像の構成と等質空間内への曲面論への応用」に関し、対称性（1径数群の作用による同変性）とアフィン構造の観点から研究を遂行し、以下の研究成果を得た。
１）3次元ハイゼンベルグ群内の「１径数群の作用により不変な極小曲面」を「1径数群の作用で同変的な調和写像」ループ群論的構成法）の改良を行った。新しい極小曲面（位相的柱面）を与えることに成功した（Dorfmeister氏、小林真平氏との共著論文を投稿中）２）前年度に得たデモラン曲面に関する成果を（本研究課題の主目標である）3次元版ド・ジッター時空AdS3内の極大曲面と統合する理論が構築可能であるかを検討した。リー球面幾何学に幾何学を拡大することでデモラン曲面とAdS3内の極大曲面を統一的に俯瞰することが可能であることが判明した。この過程で曲率線格子による建築構造設計への応用が発見された（横須賀洋平氏、大崎純氏、本間俊雄氏との共著論文を準備中）。３）3次元幾何学（サーストン幾何）の8種のモデル空間のうち2次元モデル空間上のファイバー束で実現できる６種の空間は自然な磁場をもつことに着目し磁場を用いた曲線論・曲面論を展開した。とくに佐々木構造をもつ3種のモデル空間（ハイゼンベルグ群を含む）において磁場ヤコビ場を決定した（Munteanu氏との共著論文を準備中）。可解幾何Sol3における磁場軌道も考察した（Erjavec氏との共著論文を発表）。４）関連研究として対数型美的曲線を合流型超幾何関数の観点からの解明を行った。合流型超幾何関数で規定されるsuperspiral（合流型superspiral）の相似曲率の明示公式を与えることに成功した（Ziatdinov氏、三浦憲二郎氏との共著論文を発表）。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
今年度の研究目標は前年度に行った「正規化が行える情況下での調和写像の構成」を正規化が行えない場合への一般化を考察することである。この目標に関しては双曲平面に値をもつ調和写像に関し、Dorfmeister氏、小林真平氏との共同研究により、以前に行ったハイゼンベルグ群内の対称性を備えた極小曲面のガウス写像として現れる調和写像のループ群論的構成を改良することに成功した。また磁場曲線や建築構造設計への応用についても成果を得ることができた点で順調と評価できる一方で、AdS3のループ群論的構成についてはCOVID-19の影響で（ワークショップが中止となり）共同研究に遅れを生じた。
研究計画（順序）を変更しハイゼンベルグ群の極小曲面、モデル空間内の磁場軌道に注力し、研究期間全体において遅延を最小限に食い止め、総合としてやや遅れていると評価する。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和3年度は、AdS3の極大曲面の構成法に関する若干の遅れを挽回することを主眼とする。
幸い、リー球面幾何学による新たなアプローチを発見できたことを活かし、まずリー球面幾何学における「射影極小曲面の類似」の構成法を考察しAdS3の極大曲面への応用を展開する。
（１）前年度に行ったH×R内の軌道型グラスマン幾何の研究との関連についても調査を継続する。
（２）磁場曲線や建築構造設計等への応用も継続して適宜、検討する。研究の進展・競合する海外の研究者の成果発表・研究動向に応じて，研究順序等を適時に修正して対応する。
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| Causes of Carryover |
スロベニアで開催予定であった第８回欧州数学会議（8th European Congress of Mathematics）のミニシンポジウム"Differential Geometry: Old and New"(MS-ID15)において招待講演を行う予定であったが、COVID-19により開催が延期された。またカナダにおいてAdS3の平均曲率一定曲面の構成に関する共同研究ワークショップ（David Brander氏主催）が開催予定であったが中止となったため、これらの旅費充当額が未使用となった。
次年度、国際会議、学会での成果発表はオンライン開催が想定されるため、参加費として使用する。また、国内出張が可能であれば国内旅費として使用を計画する。
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