2020 Fiscal Year Research-status Report
Energies and residues of manifolds
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19K03462
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
今井 淳 千葉大学, 大学院理学研究院, 教授 (70221132)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 留数 / ポテンシャル / エネルギー / 正則化 / メビウス不変性 / Graham-Wittenエネルギー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Xをコンパクトなリーマン多様体、zを複素数とし、Xの二点間の距離のz乗を積空間X×X上積分したものをzの関数と考え、解析接続により定義域を複素平面全体に広げると、1位の極のみを持つ有理型関数が得られる。これをXの有理型エネルギー関数と呼ぶ。この関数とその留数の性質、およびそれらからMの幾何がどの程度わかるか、ということが研究の主目的であった。2020年度に得られた成果は以下の通りである。
(1) 2017年から続けてきた研究を進展させ、完成させた。ユークリッド空間内のコンパクトボディの相対留数、相対エネルギーは元のコンパクトボディの留数、エネルギーから求めることができることを示し、また、積分幾何学・凸幾何学ででてくる内在的体積など、留数に似た量と留数を比較した。特に、余次元が１の4次元多様体のGraham-Wittenエネルギーは二種類の留数と、主曲率の対称多項式の積分として得られるようなメビウス不変なエネルギーの和になっていることを示した。
(2) ある点からの距離のq乗をX上積分したものがXのその点におけるRiesz q-ポテンシャルである。qの値が小さい場合には、発散積分を正則化したものを考えることにする。このポテンシャルの最大（qの値によっては最小）を与える点（q-中心と呼ぶことにする）が唯一かどうかという問題をこの10年くらい研究してきた。対称性の議論から、Xが球体ならばqの値に関わらずq-中心は唯一である。唯一性のための十分条件が今まで得られていなかったqの範囲について、もしもXが球体に近いならば唯一性が成立することを示した。
(3) ユークリッド空間のm次元閉部分多様体のq-エネルギーはqが-2m以下ならば、多様体が自己交叉を持とうとするとエネルギーの値が無限大に発散することの証明を加筆・修正した。
(4) 狭義冪凸性に関する坂田繁洋氏との共同研究を完成させた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
数学的には、2020度に、単著を3本、共著を1本投稿することができたので、当初の計画をはるかに上回るペースで進展している。内容は上の研究実績の概要欄の(1)から(4)に対応している。ただし(3)と(4)は内容的には主要な部分は2019年度に出来上がっていた。このうち、(3)は一旦アクセプトされ、(4)は修正の要求が来た段階である。ただし、(3)は校正の段階で最後の証明に誤りを発見したため、その修正版を送ったところである。修正後変わるかもしれないが、現時点でのDOIは、
Jun O'Hara, Self-repulsiveness of energies for closed submanifolds, to appear in Math. Nachr., DOI: 10.1002/mana.202000158
である。これはまだ雑誌の号数とページ数がないため、この報告の業績リストには載せることができないので、この欄に記しておく。
一方、予算執行の観点からいうと、今年度中に予定したものを使いきれず、来年度に繰り越しになったため、遅れていると言える。これはコロナ禍のため予定されていた海外での研究集会が全てキャンセルまたは延期されたことが大きな理由である。ただ、この点は致し方ないものであるので、総合的に判断すると、当初の計画以上に進展しているということになるのではないかと考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
基本的な方針自体は当初からと変わらない。
数学的な面では、(1) 結び目のエネルギーについて、解析でsubcriticalとよばれるクラスのエネルギーの性質をまとめる、(2) コンパクトボディの留数が、境界が滑らかならば含除原理を満たすことと、留数は同じになるが有理エネルギー関数が異なる例を与える論文をまとめる、ということを実現可能な短期的目標とする。長期的には、ボディが凸ならば任意のqに対してq-中心が一意であるという自分の予想を考える。また、現在著書の第二版と共著のモノグラフを執筆中なので、それらを進めたい。
予算執行に関して、新型コロナのため、ワクチン接種が済まないかぎり、2021年度も出張を控える予定である。8月にドイツでオンラインではない従来の方法の研究集会があり、招待されたのだが、現時点では参加しない予定である。旅費がほとんどないことが予想されるため、予算執行に関しては、申請時に予定していた額を使用することはないと考えている。
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由は、新型コロナの影響で、当初参加を予定していた国内外の研究集会が中止・延期されたため、その分の旅費がなくなったことである。ただし、繰り越しの金額が大きいのは、2018年度に健康上の問題が生じたことと学科のコース長になったことで繰り越しが生じた影響が尾を引いている。
今後の使用計画：2020年度に予定されていた海外の研究集会の一つは2022年に延期された。また、上にも書いたように、ワクチン接種が済まないかぎり、2021年度は出張は控える予定である。そのため旅費がほとんどないため、使用する金額は予定より大きく下回ることが予想される。現時点での使用計画としては、パソコン（デスクトップおよびノート）、書籍、オンラインのための機材の購入である。
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