2021 Fiscal Year Research-status Report
曲面結び目の射影図による構成と不変量による分類の研究
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19K03466
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
佐藤 進 神戸大学, 理学研究科, 教授 (90345009)
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2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 曲面結び目 / ２次元結び目 / ３重点数 / 仮想結び目 / 交差多項式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
曲面結び目とは４次元ユークリッド空間に滑らかに埋め込まれた閉曲面のことであり、その射影図とは３次元ユークリッド空間に射影された像で、自己交差集合に上下の交差情報を入れたもののことである。また曲面結び目の３重点数とは、そのすべての射影図にわたる３重点の個数の最小値のことであり、これを基準にして曲面結び目の分類を与えることは、曲面結び目理論の研究において基本的かつ重要なことであると考えられる。
前年度までの研究により、３重点数が４である２次元結び目（閉曲面が２次元球面である場合の曲面結び目）の決定を行ったが、本年度はその証明で用いた手法をさらに整理し精査することにより、２次元球面とは限らない閉曲面の場合に、その３重点数を実現する射影図の自己交差集合がみたすべき必要条件を与えることができた。これを用いるとYashiro氏らによる３重点数２のトーラスの曲面結び目の非存在の結果に対する簡易な別証明を与えることができる。
また、前年度までに行った仮想結び目の３種類の交差多項式に関する一連の結果に加えて、仮想結び目の支持種数（仮想結び目の射影図を実現する閉曲面の種数の最小値）が１の場合に、トーラス上の閉曲線の回転数を利用することにより、その第三交差多項式を精密化することに成功した。これにより、通常の第三交差多項式では区別できなかった仮想結び目の対で、精密化した多項式では区別できるようになるものの存在が期待できる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
曲面結び目をその３重点数によって分類するためには、３重点数を実現する射影図の自己交差集合を決定する必要がある。そのような自己交差集合は三又コードをもつガウス図によって表現されるが、射影図の最小性がガウス図の性質にどのように反映されているかを調べることが重要である。
本年度の研究では、自己交差集合の閉曲面における逆像の連結成分の数と縮約可能な１角形と２角形の個数の和を用いて、一般の種数の場合にその射影図が３重点数を実現するための必要条件を与えることができた。特にこれを用いると種数１の曲面結び目で、３重点数が２のものの非存在の簡易な別証明を与えることができる。これにより、曲面結び目の自己交差集合の特徴付けに関する研究を大きく進展させることができた。
また、仮想結び目の第三交差多項式は本来、ねじれ多項式を法として定義されるものであるが、仮想結び目の支持種数が１の場合にはトーラス上での回転数を用いて補正することにより、法をとらずに多項式自体が不変量となることがわかった。これにより、不変量を用いた仮想結び目の分類に関する研究につなげることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究により、一般の種数の曲面結び目の場合に、３重点数を実現する射影図の自己交差集合がみたす必要条件を明らかにすることができた。このことにより、与えられた種数と３重点数をもつ曲面結び目の射影図の自己交差集合の候補の作成の研究を進展させることができる。特に３重点数が５以上の２次元結び目（種数０）、３重点数２かつ種数２の曲面結び目などの特徴づけを目標として研究を進めていきたい。
また、仮想結び目の第三交差多項式を支持指数１の場合に精密化した多項式を用いて、通常の第三多項式では区別できない仮想結び目の対で、精密化した多項式では区別できるようなものが存在するかを調べること、および精密化した第三多項式の特徴づけを行うことを目標として研究を進めていく。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍のため、当初計画していた出張や研究打ち合わせが予定通りに遂行することができなかった。コロナ禍がおさまれば次年度は計画通り出張などを行いたいと考えている。
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