2019 Fiscal Year Research-status Report
Study on dimension and topological spaces in coarse geometry
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19K03467
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| Research Institution | Ehime University |
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Principal Investigator |
山内 貴光 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 准教授 (00403444)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 粗幾何学 / 次元 / 位相空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
距離空間の超空間における粗幾何学的次元概念とHigsonコロナとよばれる位相空間に対して，以下の成果を得た．
1．距離空間Xの有限な部分集合全体のなす集合F(X)にはHausdorff距離と呼ばれる標準的な距離が定義できる．この距離空間F(X)は超空間と呼ばれる. 超空間F(X)とその部分空間の粗幾何学的な次元についてT.Weighill氏，N.Zava氏と共同研究を行い，次を得た：長さが増大する区間の列が距離空間Xに粗埋め込み可能であれば, F(X)はHilbert空間に粗埋め込み可能でない．(Yu(2000)とHigson-Roe(2000)の定理により，漸近次元が有限な距離空間はHilbert空間に粗埋め込み可能である.) 特に，実数直線Rの漸近次元は1であるが，その超空間F(R)はHilbert空間に粗埋め込み可能でない．本結果を含む成果を論文としてまとめ，学術誌へ投稿した．
2．深谷友宏氏(首都大)，尾國新一氏(愛媛大)と共同で行った双曲空間に対するGromov積の一般化に関する研究について，その成果発表を行った．
3．岩本-友安(2001)は半直線のHigsonコロナが分解不可能な連続体であることを証明した．半直線のStone-Cech剰余との比較によって，半直線のHigsonコロナが以下の性質をもつことを示した．(1)連続体仮説の下で連続体濃度のcomposantsをもつ．(2)どの非退化な部分連続体も遺伝的分解不可能でない．(3)任意の空でない開集合は非退化かつ分解不可能な部分連続体を含む．本結果の成果発表を行うと共に論文としてまとめ，学術誌へ投稿した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
距離空間の超空間における粗幾何学的な次元の様相ついて明らかにすることができた．また，半直線のHigsonコロナの連結性に関するいくつかの位相的性質について，半直線のStone-Cech剰余と同じ性質を満たすことが分かった．この中で，Stone-Cechコンパクト化の研究で基本的に用いられる超フィルターが，HigsonコロナやHigsonコンパクト化の研究でも有用であることが分かった．
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| Strategy for Future Research Activity |
「漸近次元が有限」と「Hilbert空間に粗埋め込み可能」の間にはいくつかの無限次元概念が知られているが，これらの関係性の一部は未解明である．次年度は，まず，この問題に取り組む．また，今回のHigsonコロナの研究で得られた超フィルターを用いた手法が，他の議論(特に，Higsonコロナの次元の計算)に応用できるかを調べる．
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由：参加のために旅費を計上していた研究集会の主催者から招待をいただき旅費を援助いただいたこと，および3月に開催を予定していたワークショップが新型コロナウイルス感染拡大により延期となったことから，残額が生じ，次年度以降に使用することとしたため．
使用計画：新型コロナウイルス対応に伴う在宅勤務でも利用できるオンライン書籍等の購入に充てる．また，新型コロナウイルス収束後の旅費等に充てる.
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Research Products
(5 results)
