交代結び目の体積予想

2019 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03470
• Research Institution: Tokyo Metropolitan University
• Principal Investigator: 横田 佳之 首都大学東京, 理学研究科, 教授 (40240197)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: 結び目 / ジョーンズ多項式 / ポテンシャル関数 / 体積

Outline of Annual Research Achievements

結び目・３次元多様体の理論は、双曲幾何学の導入やジョーンズ多項式の発見をきっかけに大きく発展し、現代の位相幾何学における中心テーマのひとつとなっている。
そして結び目の体積予想とは、結び目のジョーンズ多項式の極限に、結び目のグロモフ体積やチャーン・サイモンズ不変量等の幾何学的不変量が現れるという予想であり、３次元多様体の幾何構造と量子不変量を結びつける重要な研究テーマとして、過去２０年間、研究者の注目を集めてきた。
本研究の目的は、結び目の最も重要なクラスである交代結び目に対して体積予想を解決し、一般の結び目に対する体積予想の突破口とすることであるが、本年度の研究では、ジョーンズ多項式の積分表示に鞍点法を適用するための条件に注目し、研究計画とは異なるアプローチを模索した。
具体的には、結び目の図式に対応した補空間の理想四面体分割に対し、①四面体の面角を変数とする「角度空間」の効率的なパラメータ表示の発見、②角度空間上の「ポテンシャル関数」の導入、③その臨界値と双曲体積との一致の証明に成功した。これらの結果については、令和２年度中に、研究論文として発表する予定である。
今後は、上記臨界値が角度空間上の最大値であることを証明すると同時に、結び目の図式に対応して構成される、従来のポテンシャル関数の定義空間と、今回導入した角度空間のパラメータを統合する空間で議論をすることで、ジョーンズ多項式の積分表示に鞍点法を適用する際の積分路を明確に記述する方針である。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

研究計画と異なる方針をとったため、予測が難しいが、角度空間に注目したアプローチは有望であると考えている。

Strategy for Future Research Activity

令和２年度は、角度空間に関する研究論文を発表すると同時に、従来のポテンシャル関数の理論との統合を図る。令和３年度は、統合されたパラメータ空間を利用して、ジョーンズ多項式の積分表示における積分路を明確に記述する。

Causes of Carryover

新型コロナウイルス感染拡大の影響により、研究集会参加を取りやめたため。