交代結び目の体積予想

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03470
• Research Institution: Tokyo Metropolitan University
• Principal Investigator: 横田 佳之 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (40240197)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: 結び目 / ジョーンズ多項式 / ポテンシャル関数 / 体積

Outline of Annual Research Achievements

結び目・３次元多様体の理論は、サーストンによる双曲幾何学の導入や、ジョーンズ等による量子不変量の発見をきっかけとして大きく発展し、現代の位相幾何学における中心的なテーマの一つとなっている。
本研究が扱っている、結び目の体積予想は、結び目の色つきジョーンズ多項式の極限に、結び目の補空間のグロモフ体積やチャーン・サイモンズ不変量が現れるという魅力的な予想であり、３次元多様体の幾何構造と量子不変量を結びつける重要な研究テーマとして、過去２０数年間、多くの研究者の注目を集めてきた。
本研究の目的は、結び目の最も重要なクラスである交代結び目に対して体積予想を解決し、一般の結び目に対する体積予想の突破口とすることである。具体的には、交代結び目の補空間の四面体分割は退化しないことを利用して、ジョーンズ多項式の積分表示に鞍点法を適用する際の積分路の変形を、一般的に記述することが目標である。
昨年度の研究で、ジョーンズ多項式の積分表示に現れるポテンシャル関数の定義域を拡張するため、結び目の補空間の四面体分割における面角を変数とする角度空間を導入し、新しいポテンシャル関数を構成したが、従来のポテンシャル関数の理論との統一がうまくいっていないことと、キュービングを用いた補空間の幾何構造の変形を十分に利用できていないことから、予想の解決に必要な積分路の一般的記述にはいたっていない。
最終年度の研究では、他の研究者と問題点を共有し、知見を積極的に取り入れ、一定の成果につなげたい。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

研究計画と異なる方針をとったこともあるが、研究時間が十分に確保できなかったことが大きい。

Strategy for Future Research Activity

引き続き、角度空間上のポテンシャル関数の理論と従来のポテンシャル関数の理論の統合を図り、キュービングを用いた補空間の幾何構造の変形を利用して、予想の解決に必要な積分路の一般的な記述を目指す。

Causes of Carryover

国内・国外出張を全て取りやめたため。