2021 Fiscal Year Research-status Report
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19K03470
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
横田 佳之 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (40240197)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 交代結び目 / ジョーンズ多項式 / 体積予想 / ポテンシャル関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
結び目・３次元多様体の理論は、サーストンによる双曲幾何学の導入や、ジョーンズ、ウィッテン等による量子不変量の発見をきっかけとして大きく発展し、現代の位相幾何学における中心的なテーマの一つとなっている。
本研究が扱う結び目の体積予想は、結び目の代表的な量子不変量として知られている色付きジョーンズ多項式の極限に、グロモフ体積、チャーン・サイモンズ不変量、ライデマイスター・トーション等、結び目の補空間の幾何構造から定まる基本的な不変量が現れるという魅力的な予想であり、結び目・３次元多様体の幾何構造と量子不変量の結びつける重要な研究テーマとして、過去四半世紀、多くの研究者の注目を集めてきた。
本研究の目的は、結び目の最も重要なクラスである交代結び目に対する体積予想を肯定的に解決し、一般の結び目に対する体積予想の解決の突破口とすることである。具体的には、交代結び目の補空間の、交代図式に対応した理想四面体分割の非退化性を利用し、ジョーンズ多項式の積分表示に鞍点法を適用して不変量の漸近挙動を調べる際の積分路の変形を、一般的に記述することが目標である。
昨年度までの研究で、自然な積分路の決定を目標として、ジョーンズ多項式の積分表示に現れるポテンシャル関数の定義域を、四面体の面角を変数とする角度空間を導入したが、未だ成功には至っていない。今年度の研究では、３次元多様体の双曲構造方程式から得られるノイマン・ザギエ行列の観点から角度空間を捉え直し、図式を用いた角度空間とキャッソン・レビン体積関数のパラメータ表示、ノイマン・ザギエ行列のシンプレクティック性の別証等の成果を挙げた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
ポテンシャル関数の変数と、キャッソン・レビン体積関数のパラメータの関係が、予想以上に複雑である。また、交代結び目の補空間のキューブ構造を十分に活用できていない。
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| Strategy for Future Research Activity |
ポテンシャル関数の鞍点における非退化性、及び積分路の変形に関係する結び目補空間のキューブ構造を、ノイマン・ザギエ行列の観点から考察する。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症の影響により、国内外への出張が大幅に制限されたため、未使用額が生じたが、次年度は状況が改善される見込みである。
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