2022 Fiscal Year Research-status Report
New development of the coarse geometry of nonpositively curved spaces
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19K03471
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
深谷 友宏 東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (40583456)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 粗凸空間 / 粗Baum-Connes予想 / Busemann空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
尾國新一氏（愛媛大学）との共同研究で，単連結完備非正曲率リーマン多様体の粗幾何学における類似物として，粗凸空間を導入した．粗凸空間の境界を構成し，それを用いて粗幾何学版のCartan-Hadamardの定理を証明した．その系として，粗凸空間に対する粗Baum-Connes予想が成立することを示した．
最近のOsajda等による研究により，粗凸空間に幾何学的に作用するための組み合わせ論的な条件が得られた．これにより粗凸空間に作用する群の例が豊富に得られている．特にHaettel-Hoda-Petytの結果により，写像類群も粗凸空間に幾何学的に作用することが分かった．
これにより，当初の想定を遥かに超える様々な群が粗凸空間に作用することが従う．これは粗凸空間という概念の有用性を表していると言える．そこで，粗凸空間の構造定理を目標とする研究を始めた．2021--2022年度は特別な場合としてBusemann空間の構造について研究し，位相的分解定理を得た．これは、Busemann空間内の並行な測地線の族のなす部分空間が、ある別のBusemann空間と直線の直積に同相であることを主張する定理である．
またこれとは別に大学院生と共同で，距離空間の自由積を構成した．これは以前から知られている構成を含む，より一般的なものである．そして二つの測地的粗凸空間の自由積が粗凸空間になることを示した．これにより，粗Baum-Connes予想が成立する新しい空間の例が得られた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
距離空間の自由積を用いて，粗Baum-Connes予想が成立する空間の例を組織的に生み出す新しい構成方法が得られている．
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| Strategy for Future Research Activity |
粗凸空間が粗Baum-Connes予想を満たすことは既に証明されている．しかしその他の距離空間の幾何学及び幾何学的群論の観点からの研究は，やるべきことが多く残されている．そのために共同研究者や指導している大学院生とも協力しながら，複数の課題を同時に推進していく．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルス蔓延の影響により、参加する予定であった複数の国際研究集会が中止になったため。
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