2019 Fiscal Year Research-status Report
Geometry and topology of torus actions and combinatorics
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19K03472
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
枡田 幹也 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (00143371)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | トーリックトポロジー / トーラス軌道 / Hessenberg variety / 凸多面体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度に得られた結果を以下、箇条書きにする。
（１）Anton Ayzenberg氏と共同で、複雑度１のトーラス群作用が、equivariantly formal で generic という条件を満たしているとき、軌道空間が球面となることを示した。この結果は、これまで知られていた(Buchstaber-Terzic, Karshon-Tolman）による結果を包括するものである。
（２）数年前、Eunjeong Lee氏とSchubert variety内の generic torus orbit closureのトポロジーを調べ、そのポアンカレ多項式に関する予想を立てた。この予想は山中仁氏により解決されたが、Lee-Park-Song との共同研究で組み合わせ論的別証明を得た。
（３）東谷－栗本氏との共同研究で、toric Fano多様体に対してコホモロジー剛性（コホモロジー環が同型ならば微分同相か）が成立するかを調べ、複素３次元では成立し、4次元の場合は２つを除いて成立することを示した。なお、この例外的な２つはコホモロジー環は同型でPontryagin類も同じだが、微分同相かどうかは不明である。また、ピカール群が大きい場合もコホモロジー剛性が成立することを示した。
（４）現在進行中のCho-Lee-Parkとの共同研究において、「toric Fano多様体の間に第1Chern類を保つコホモロジー環の同型写像があれば、toric Fano多様体は代数多様体として同型であろう」という予想を立て、Fano Bott多様体の場合には正しいことを示した。その系として、monotone symplectic 多様体に対するMcDuffの問題が Fano Bott多様体のときには正しいことが分かった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
大きな進展が２つあった。
１つは、研究実績概要に（１）として書いたことである。もう一つの大きな進展は、ヘッセンバーグ関数が (2,3,..,n,n)となるregular Hessenberg variety のコホモロジー環が、あるトーリック多様体のコホモロジー環と同型であることが分かったことである。これまではベッチ数の記述が得られていたのみであったので、大きな進展である。なお、この結果はBalibanu-Crooksによるごく最近の結果と合わせることによって得られる。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究実績の概要の（４）で述べた予想が正しいとすると、McDuffの問題の完全な肯定的解決が得られる。Fano Bott多様体に対しては正しいことが示せたが、generalized Fano Bott多様体の場合に証明できるチャンスは大いにある。実際、Picard数が２の場合には証明できる。この議論がどこまで一般化できるかを探るのは実践的である。
もう一つ是非考えてみたいのは、現在までの進捗状況で述べた regular Hessenberg variety に関する研究である。ヘッセンバーグ関数が (2,3,..,n,n)の場合は、置換多面体を分割した多面体と関連することが鍵であった。ヘッセンバーグ関数が一般の場合は、置換多面体のような多面体が見えないが、GKMグラフの観点で捉えれば、うまく行く可能性がある。
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| Causes of Carryover |
マクマスター大学（カナダ）の原田芽ぐみ教授の日本滞在費用の一部を科研費から支出予定だったが、大阪市大数学研究所の共同利用の資金が使えることになったので、そちらから支出してもらうことにした。そこで、3月末にフィールズ研究所で開催予定だった研究集会への旅費として参加予定者に援助予定であったが、新コロナウィルスの影響で研究集会が延期となったため、この支出もなくなり大幅に残金が生じた。
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