2020 Fiscal Year Research-status Report
Geometry and topology of torus actions and combinatorics
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19K03472
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
枡田 幹也 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 特任教授 (00143371)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | トーリックトポロジー / トーラス軌道 / Hessenberg variety / 凸多面体 / 置換 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
次の２つの成果があった．
（１）昨年2月から3月にかけてFields研究所に滞在した際に堀口達也氏とSong Jongbaek氏と始めた研究に，組合せ論研究者の John Shareshianが加わり，次の結果を得た．置換多面体は対称群の作用を持つが，その商空間は再び単純凸多面体となり，（組み合わせ的には）高次元の立方体である．対称群全体の商空間ではなく，対称群の中の幾つかの折り返しによって得られる部分群Gによる商空間も単純凸多面体となり，これに対応するトーリック軌道体がある．このトーリック軌道体のコホモロジー環が，置換多面体に対応するトーリック多様体（置換多様体）のコホモロジーのG不変環と同型であることを示した．この事実と，Balibanu-Crooksの結果を合わせて，h=(2,3,...,n,n)の場合の正則ヘッセンバーグ多様体のコホモロジー環の具体的な記述が得られた．
（２）Eunjeong Lee氏とSeonjeong Park氏との共同研究において，ある種のトーリックRichardson多様体（我々はこれをカタラン型と呼んでいる）の族と，多角形の分割とが対応することを見出した．これより，カタラン型のトーリックRichardson多様体の同型類の個数が，古くから知られているWedderburn-Etherington数に一致することが分かった．Wedderburn-Etherington数は，幾つかの対象の数え上げに現れるが，我々の研究は，それに新たな１つを加えたものでもある．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
トーリックRichardson多様体のある族が，多角形の分割という簡明な対象と１対１に対応することを発見したことは，全く予期しないことで，非常に面白いと感じた．この対応はもっと拡張できる筈で，それを探ることに力を注ぎたい．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究実績の概要に記した２つの研究は共に共同研究である．これらの共同研究者とメールやZoomを通して蜜に研究連絡をとり，研究を進めて行く予定である．また，１年余り前から始めた Higher School of Economics のAnton Ayzenberg氏との余次元１のトーラス群作用の研究，最近始めた佐藤敬志氏とregular semisimple Hessenberg variety の対称群表現の研究も Zoom などを利用して推し進める予定である．
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| Causes of Carryover |
新コロナウィルスの影響で，出席，講演を予定していた国内外の研究集会がすべて Zoom開催になったため，今年度は旅費に大きく余りが生じた．その分を次年度に使用したいと考えている．
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