2021 Fiscal Year Research-status Report
Geometry and topology of torus actions and combinatorics
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19K03472
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
枡田 幹也 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 特任教授 (00143371)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | トーリックトポロジー / トーラス軌道 / Hessenberg variety / 凸多面体 / 置換 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
[1] Eunjeong Lee氏および Seonjeong Park氏とトーラス軌道の研究を数年来続けている．これに関して，本年度は次の３つの内容の論文を執筆した．
（１）Richardson varietyは，Bruhat 順序でv<wとなる２つの置換v,wから定まる旗多様体の部分多様体である．その中のある族が，多角形の三角形分割から得られることが分かった．またそれらの同型類の個数が，Wedderburn-Etherington数と呼ばれる数と一致することを見出した．
（２）Schubert variety でトーラス群作用の複雑さが１のものの特徴づけを幾つか与えた．複雑さが０のものはトーリック多様体となるもので，これは比較的よく分かったいるので，その次のケースを調べたものである．
（３）旗多様体のトーラス軌道のトポロジーと組合せ論に関して，これまで知られている結果に加えて，我々の数年来の研究結果を論文としてまとめた．Handbookの１つの章として出版予定．
[2] Anton Ayzenberg氏および佐藤敬志氏と，正則半単純ヘッセンバーグ多様体のコホモロジーをGKM理論を用いて調べた．まず，対称群の表現としての2次のコホモロジーの具体的記述を得た．これに関しては，T.Chowが組合せ論の観点から，Cho-Hong-Leeが幾何的観点から既に調べているが，我々はGKM理論を用いたもので彼らとは手法が異なる．さらに，その結果を基に，コホモロジー環が2次の元で生成されるためのヘッセンバーグ関数の必要十分条件を得た．ヘッセンバーグ関数に付随するグラフの言葉では，(double) lollipop と呼ばれるものである．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
ある種のトーリックRichardson variety が，多角形の三角形分割という簡単な対象から決まり，その同型類の数え上げに，古くから知られている Wedderburn-Etherington数が現れるたのは，全く予想しなかった事実であった．
正則半単純ヘッセンバーグ多様体のコホモロジー環に関しては，環が次数２で生成されるヘッセンバーグ関数が，組合せ論の観点から現れる Lollipop グラフと本質的に同じであることが分かったが，これも予期しなかった事実であった．
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| Strategy for Future Research Activity |
Lee氏, Park氏との共同研究テーマである旗多様体のトーラス軌道の閉包に関しては，未解決問題が山積みで，今後も共同研究を続ける予定である．まずは，トーリックSchubert variety の分類を一般のリー型で完成させる．
Ayzenberg氏，佐藤氏との共同研究のテーマである正則半単純ヘッセンバーグのコホモロジーに関しても，未解決問題が山積みで，今後も共同研究を続ける予定である．究極の目的は，Stanley-Stembridge予想の解決であるが，表現論の立場から導入され研究されている unicellular LLT多項式との関連も探りたいと思っている．
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| Causes of Carryover |
コロナのため，出席を予定していた研究集会がすべてオンライン開催となったため，出張旅費としての支出がなかったため，次年度への繰越とした．
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