2019 Fiscal Year Research-status Report
Golod 性を中心としたトーリックホモトピーの展開
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19K03473
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| Research Institution | Osaka Prefecture University |
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Principal Investigator |
入江 幸右衛門 大阪府立大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (40151691)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
岸本 大祐 京都大学, 理学研究科, 准教授 (60402765)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 単体複体 / 多様体の三角形分割 / Golod / F-タイト |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、体 F に対して F 上向き付け可能で連結な閉多様体の三角形分割の F-Golod 性について、研究を行った。
単体複体 K が体 F 上 Golod であるとは、K に付随したモーメントアングル複体 Z_K の F 係数コホモロジー環の積及び高次 Massey 積がすべて消えていることを言う。この条件を少し緩和して、単体複体 K が体 F 上 前-Golod であるとは、K に付随したモーメントアングル複体 Z_K の F 係数コホモロジー環の積がすべて消えていること、と定義する。また、単体複体 K が F-タイトであるとは、K の任意の完全な部分複体（full sub-complex）L に対して、包含写像から誘導される準同型写像 H_*(L;F)-->H_*(K;F) が単射となる事を言う。
本年度の研究では、次の結果を得た。1) 体 F 上向き付け可能で連結な閉多様体の三角形分割が 前-Golod である必要十分条件は、F-タイトである。2) 任意の単体複体 K に対して、F-タイトならば 前-Golod である。3) 以上より、体 F 上向き付け可能で、連結な3次元閉多様体の三角形分割が Golod である必要十分条件は、F-タイトである。
単体複体に関する F-タイトという条件は、非常に強い条件であるので、これが F-Golod 性を導くと期待されるが、F-タイト性と F-Golod 性の条件の記述の仕方が異なるため研究が難しく、この点が今後の研究の課題と思われる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要にも記載した通り、3次元多様体の三角形分割について、Golod 性の必要十分条件を与えることができた。この必要十分条件が F-タイト性という、Golod 性とは全く別文脈で研究されていたことと結びつけられたことは大きな成果である。ただ、F-タイト性については、3次元多様体については比較的研究されていて部分的な結果もあるが、高次元となるとあまり研究されていないのが現実である。このような点で、順調に進んでいるとは記載するのは難しいように感じた。
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| Strategy for Future Research Activity |
以上のように、体 F 上向き付け可能で連結な3次元閉多様体の三角形分割の Golod 性については解決した。次に取り組むべき課題は4次元多様体の三角形分割についてである。次元の関係から３次 Massey 積 <α、β、γ> が消えているかどうかを調べればよいことが分かる。これについては、先行研究を参考に解決を図る。
上記４次元の場合の検討はある意味、実験に相当する。つまり、F-タイトならば F-Golod が４次元で成り立つかをチェックしていることとなる。このようなチェックとともに、ホモトピー論を用いた観点から、単体複体 K が任意の体 F に対して F-タイトならば、K のモーメントアングル複体 Z_K が懸垂空間とホモトピー同値となるかの考察を行いたい。
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| Causes of Carryover |
研究代表者入江が２０１９年度に研究科長を務めることになり、当初予定していた国際会議への出席ができなくなってしまったため次年度繰越金が発生した。
研究代表者の入江は引き続き２０２０年度も研究科長を務めるため、長期の国際会議への参加や出張が難しいと思われる。従って、分担者の岸本氏に国際会議への参加や長期出張をお願いし、研究成果の発信と関連分野の情報収集に努めてもらう予定をしている。
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