2019 Fiscal Year Research-status Report
Differential geometric structures on smooth manifolds and Gromov-Hausdorff convergences
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19K03474
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
服部 広大 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (30586087)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 幾何学的量子化 / 測度付きグロモフ・ハウスドルフ収束 / ケーラー多様体 / 正則切断の局所化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、測度付きグロモフ・ハウスドルフ収束の枠組みを用いた幾何学的量子化への新しいアプローチについて研究した。前量子化束付きのシンプレクティック多様体において、シンプレクティック形式をケーラー形式とするような複素構造をケーラー偏極といい、ラグランジュファイブレーションが与える接分布を実偏極という。ケーラー偏極が与えられると、前量子化束の切断全体において、正則切断のなす有限次元ベクトル空間が定まる。また実偏極が与えられると、ボーア・ゾンマーフェルトファイバーとよばれる特別なファイバーが定義され、これは離散的に現れることが知られている。特にトーリック多様体、アーベル多様体、旗多様体の場合、先行研究において次のようなことが知られている。ケーラー偏極の1パラメータ族であって、その極限で実偏極に収束するようなものを考える。このとき、各ケーラー偏極に関する正則切断の空間の基底の族であって、ケーラー偏極を実偏極に近づけたときに、正則切断がボーア・ゾンマーフェルトファイバーに台をもつデルタ関数にしかるべき意味で収束する。このことから特に、正則切断の次元とボーア・ゾンマーフェルトファイバーの個数が一致することが従う。これらの先行研究では、ケーラー偏極の族と正則切断の族を大域的に具体的に構成し、その漸近挙動を観察することによって収束を示している。
これに対し研究代表者は、ケーラー偏極の族をあるリーマン多様体の族に置き換え、正則切断をラプラシアンの固有関数とみなすことにより、測度付きグロモフ・ハウスドルフ収束するリーマン多様体列上のスペクトル収束の理論を適用する枠組みを構築した。その結果、京都大学数理解析研究所の山下真由子氏との共同研究によって、トーリック多様体とアーベル多様体に関する先行研究を全く新しいアプローチによって復元することに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本研究では、前量子化束付きのシンプレクティック多様体とその上のケーラー偏極の組に対して、前量子化束の主枠束上のリーマン計量を対応させ、その族に対する桑江-塩谷の意味でのスペクトル構造のコンパクト収束を示すことが目的であった。コンパクト収束を示すためには、それよりも弱い条件である強収束を示し、さらにボーア・ゾンマーフェルトファイバーから離れた場所での解析を行う必要があった。このうち強収束の証明までは見通しがあったが、それ以降の議論については方向性が定まっていなかった。ところが京都大学の山下真由子氏との研究討論により、ボーア・ゾンマーフェルトファイバーから離れた場所での解析の方法について大きな進展があり、スペクトル構造のコンパクト収束を証明することができた。このように、本研究課題は当初の計画以上に進展している。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究によって、ラグランジュファイブレーションが特異ファイバーを持たない場合と、トーリック多様体上のトーラス不変な運動量写像によって与えられる場合については、測度付きグロモフ・ハウスドルフ収束の枠組みを用いた、正則切断のボーア・ゾンマーフェルトファイバーへの局所化が示された。しかし、この手法はさらに一般の状況に拡張できる可能性を含んでいる。次に目指すのは、楕円K3曲面に対して超ケーラーローテーションを施し、ラグランジュファイブレーションとみなした場合に正則切断の局所化を論じることである。このとき、ケーラー偏極としてはリッチ平坦ケーラー形式を用いる。しかしながら、リッチ平坦ケーラー形式はヤウの定理によって存在のみが示されており、その構造を明示的に理解することは困難であるため、楕円K3曲面に対して幾何学的量子化の議論、特に正則切断の局所化をきちんと論じた結果は現時点で知られていない。しかし、研究代表者が山下真由子氏との共同研究によって編み出した手法は、必ずしも構造の明示的な理解を必要としないので、この問題に対する有効なアプローチとなりうる。具体的には、リッチ平坦ケーラー形式をよく近似する明示的なケーラー形式を構成し、その構造について漸近解析を行うことになる。
楕円K3曲面は、もっとも一般的な状況では小平I型の特異ファイバーを24個持つ。この場合のケーラー形式の近似族は、特異ファイバー付近で大栗-Vafa計量を、それ以外の部分で半平坦ケーラー形式をとって貼り合わせればよい。その他の特異ファイバーが現れる状況については、Chen-Viaclovsky-Zhangの結果を用いてケーラー形式の近似族を構成する。その貼り合わせの方法と、ヤウの定理によって得られるリッチ平坦ケーラー形式との誤差の評価、そして局所モデルを用いた正則切断の局所化の議論をすることが今後の推進方策である。
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| Causes of Carryover |
研究の進行状況に応じて、例外型ホロノミー群とツイスター理論の専門家である、King's College LondonのSimon Salamon氏を訪ね、研究討論をする予定であった。しかし、シンプレクティック多様体上の幾何学的量子化について当初予想していなかった進展があったため、その方向性の進展を優先させ、一区切りついてから例外型ホロノミー群またはツイスター理論の研究にとりかかることになった。このためイギリスへの渡航は令和2年度以降とすることにしたため、未使用額が生じた。令和2年度は、シンプレクティック多様体上の幾何学的量子化についての研究をさらに発展させるため、京都大学の山下真由子氏との研究討論を定期的に行う必要がある。そのための京都大学への出張と、山下氏を慶應義塾大学へ招聘するための旅費として使用する。また、幾何学的量子化に関する問題が落ち着いた段階でKing's College Londonを訪問し、Salamon氏と研究打ち合わせをするための旅費を計上する。さらに情報収集のために名城幾何学研究集会に参加する。そのための旅費を計上する。
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