2020 Fiscal Year Research-status Report
Differential geometric structures on smooth manifolds and Gromov-Hausdorff convergences
Project/Area Number |
19K03474
|
Research Institution | Keio University |
Principal Investigator |
服部 広大 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (30586087)
|
Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
|
Keywords | 幾何学的量子化 / 正則切断 / ボーア・ゾンマーフェルトファイバー / K3曲面 / スペクトル構造 / 測度距離空間 / 測度付きグロモフ・ハウスドルフ収束 |
Outline of Annual Research Achievements |
令和2年度は、令和元年度に引き続いて測度付きグロモフ・ハウスドルフ収束の枠組みを用いた幾何学的量子化への新しいアプローチについて研究した。前量子化束付きのシンプレクティック多様体において、シンプレクティック形式をケーラー形式とするような複素構造をケーラー偏極といい、ラグランジュファイブレーションが与える接分布を実偏極という。ケーラー偏極の1パラメータ族が、しかるべき意味において実偏極に収束するときに、各ケーラー偏極に関する正則切断の1パラメータ族がボーア・ゾンマーフェルトファイバーに台をもつデルタ関数に収束する現象がいくつかの具体例において知られていた。研究代表者は、ケーラー偏極の族をあるリーマン多様体の族に置き換え、正則切断をラプラシアンの固有関数とみなすことによって、測度付きグロモフ・ハウスドルフ収束するリーマン多様体列上のスペクトル収束の理論を適用する枠組みを構築した。令和元年度は、京都大学数理解析研究所の山下真由子氏との共同研究によって、トーリック多様体とアーベル多様体において正則切断の局所化現象を、ラプラシアンのスペクトル構造の収束としてとらえることに成功した。令和2年度はこの枠組みをK3曲面に対して適用した。その結果、K3曲面がI_1型の特異ファイバーのみをもつ楕円ファイブレーションを許容する場合に、超ケーラー構造に付随するケーラー偏極の族に対する正則切断の局所化をスペクトル構造の収束を用いて記述することに成功した。その結果、特異ファイバーの近傍と非特異ファイバーの近傍とで、極限として現れる測度距離空間は同じものであることが証明された。K3曲面上の超ケーラー構造は明示的に記述することが困難であるため、本研究の成果はK3曲面上の幾何学的量子化に関する理解を大きく前進させた。
|
Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
令和2年度の研究成果であるK3曲面上の幾何学的量子化とスペクトル構造の収束の関係を明らかにする上で、K3曲面上のリッチ平坦ケーラー計量の退化に関する深い理解を必要とした。この方向性では、GrossとWilsonによってK3曲面が2次元の空間に退化する研究結果が知られており、本研究の遂行上これらの結果を深く理解した上で適用する必要があった。特にOoguri-Vafa計量と呼ばれる非コンパクトなリッチ平坦ケーラー計量に関する種々の解析的な評価が必要とされた。また、主枠束の測度付きグロモフ・ハウスドルフ収束を示すために技術的な困難が随所にあった。本年度はこれらの問題を全て解決することができたので、本研究課題は順調に進展していると判断する。
|
Strategy for Future Research Activity |
これまでに、アーベル多様体、トーリック多様体、K3曲面上の幾何学的量子化を、スペクトル構造の収束の概念を用いて明らかにすることに成功した。特に、幾何構造が明示的に記述できないK3曲面でも本研究の手法が有効であったことは大きな成果であった。その一方で、今回の結果ではK3曲面上の楕円ファイブレーションの中でも特異ファイバーがI_1型の場合のみしか考えておらず、他の特異ファイバーが現れる場合は依然として未解決である。これまでに開発した枠組みを用いることで、他の特異ファイバーの場合も解決できるであろうと期待しているが、そのためには測度距離空間の収束の議論を局所モデルごとに行う必要がある。I_1型の場合はOoguri-Vafa計量に関する精密な評価が必要であったため、他の場合についても同様な技術的問題を乗り越える必要がある。そのため、局所モデルごとの場当たり的な議論ではなく、今までよりも統一的な手法を構築する必要がある。 また、これまではシンプレクティック多様体上の複素構造の族に関する幾何学的な問題を扱ったが、これら以外の微分幾何学的な構造に対しても、本研究課題で得たアプローチを適用できる対象を探す。例えば例外型ホロノミー群を持つ場合や四元数ケーラー多様体上で本研究の応用例を模索する。
|
Causes of Carryover |
令和2年度は、King's College LondonのSimon Salamon氏のもとを訪問し、研究討論のために数ヶ月間の海外滞在をする予定であった。しかし新型コロナウイルス感染症の世界的な流行によって渡航を断念せざるを得なかった。また令和2年度中に予定されていた研究集会が全て中止またはオンライン開催となり、出張費用として確保していた予算を使用することがなく、次年度使用額が生じた。令和3年度は、海外渡航や国内出張が許される状況となり次第、国内外で開催される研究集会等に参加して情報収集と研究討論を行い、そのための旅費として使用する予定である。
|