2022 Fiscal Year Annual Research Report
リー群の表現の分解に関連するシンプレクティック商の研究
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19K03475
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| Research Institution | Chuo University |
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Principal Investigator |
高倉 樹 中央大学, 理工学部, 教授 (30268974)
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2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | シンプレクティック商 / 余随伴軌道 / ウェイト多様体 / 体積関数 / ルート系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
交付申請書に記したように、リー群の余随伴軌道の族から直積・商などの操作により定まる空間についての研究を行った。同時に、上記の空間の代数的・組合せ的対応物である、リー群の既約表現の族からテンソル積・部分空間などの操作により得られる次数付きベクトル空間や付随する組合せ的対象についての研究を行った。その際、ベクトル分割関数やその連続版であるベクトル体積関数が重要な対象となる。
第一の成果として、昨年度に予想したA型ルート系に付随するある多変数有理関数族の一次独立性を証明することができた。これにより、nice chamber に対するA型ベクトル体積関数を用いて他の chamber 上の体積関数を表示することができるという B. V. Lidskii の定理が、ワイル群の作用から定まる基底の族に関する等式へと抽象化される。
第二に、ルート系とは限らない一般のベクトル系に対して、一般の chamber 上のベクトル体積関数を特徴づける微分方程式系の具体的な表示について、ある予想を得た。また、低ランクのルート系に対してこの予想が正しいことを確認した。予想の証明のためには、この微分方程式系をあるトーリック多様体のコホモロジー環の構造と比較することが必要だと思われるが、その一般的な解明はそれ自体興味深い。なお、この予想が正しければ、ベクトル体積関数の局所的考察（すなわち個々の chamber 上での考察）に関しては一区切りがつくことになる。
一方、Demazure 加群やアフィン・リー環の既約表現のウェイトの重複度の漸近挙動の研究、およびウェイト多様体の複素的対応物についての研究（特に、定義体を有限体にしたときの点の個数と、有限体上の一般線形群の表現の重複度が等しいという予想）等は、依然課題として残されている。
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