2022 Fiscal Year Annual Research Report
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19K03476
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| Research Institution | Tsuda University |
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Principal Investigator |
井上 歩 津田塾大学, 学芸学部, 准教授 (10610149)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | カンドル / 結び目 / ザイフェルト曲面 / 対称性 / 多胞体 / タイル貼り / 空間グラフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，主に，結び目のザイフェルト曲面に関連した研究を行った．まず，カンドルコサイクル不変量の研究から発想を得て，3次元空間内に埋め込まれた曲面の「改変」という操作を導入した．この「改変」は曲面の「圧縮」の一般化に相当するものである．そして，任意の結び目の任意の二つのザイフェルト曲面達が一度の「改変」により互いに移り合うことを示した．一度の「圧縮」では互いに移り合わないザイフェルト曲面達の存在が知られており，この対比は「圧縮」と「改変」との違いを浮き彫りにするものである．
研究期間全体を通して，研究は順調に進展した．まず，ファイバー結び目の結び目カンドルがファイバーの基本群とそのモノドロミーにより完全に記述できることを示し，その応用として，結び目カンドルが有限であるようなツイストスパン2次元結び目を完全に列挙したり，結び目カンドルは一致するが互いに異なる2次元結び目が任意有限個以上存在することを示したりした．また，n次元球面・ユークリッド空間・双曲空間のタイル貼りが持つ対称性に付随したカンドルを構成し，ファイバー結び目の結び目カンドルに対する研究の成果も活用しながら，3-, 4-, 5-ツイストスパン三葉結び目の結び目カンドル達がある多胞体の対称性がなすカンドル達と同型であることを示した．さらには，三角形によるタイル貼りの対称性がなすカンドル達がツイストスパン三葉結び目達の結び目カンドル達の中心拡大であることを示した．これらの研究を通して，カンドルコサイクル不変量とザイフェルト曲面との間に密接な関係性があることを見出し，その応用として曲面の「改変」という操作を導入することもできた．またさらには，早稲田大学の谷山公規氏・木村直記氏，東京女子大学の新國亮氏との共同研究として，有限グラフの平面はめ込みが持つある種の性質を明らかにすることもできた．
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