2019 Fiscal Year Research-status Report
Study on cohomologies of automorphism groups of free groups focued on the unstable range
| Project/Area Number |
19K03477
|
|---|
| Research Institution | Tokyo University of Science |
|---|
Principal Investigator |
佐藤 隆夫 東京理科大学, 理学部第二部数学科, 准教授 (70533256)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
|
| Keywords | 自由群の自己同型群 / IA自己同型群 / 群のコホモロジー / 非安定コホモロジー |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
今年度はまず，これまでの研究を継続して，階数3の自由群の自己同型群が非自明に作用するいくつかのGL加群に対して，そのねじれ係数コホモロジーの計算をOuter spaceを用いて行った．具体的には，自由群のIA自己同型群の2次元有理ホモロジー群の，あるGL既約成分を係数とする，自由群の自己同型群のねじれ係数コホモロジー群の決定に向けた計算の一環であるが，その計算は大変複雑であり，計算の確認も含めて現在も進展中である．
また，自由群のアーベル化の交代テンソルを係数とする，自由群の自己同型群のねじれ係数有理安定コホモロジーが，Aurelien Djament氏によって決定されており，特に，河澄響矢氏が構成した非自明なコサイクルたちが，安定期においてその生成元であることも知られている．私は，IA自己同型群のあるアーベル部分群に制限することで，それらのコサイクルたちの一次独立性を非安定域においても示すことができた．今後は，非安定域のコホモロジー群自体を決定すべく，まずは階数が3の場合にコホモロジー群がどのようにふるまうかについて，Outer spaceを用いて計算を実行中である．
一方，Outer spaceを用いた幾何学的な手法のみならず，これまでの研究で行ってきた手法である，自由群の自己同型群の表示を用いた，ねじれ係数2次元ホモロジー群の計算，ないしは上からの評価についても計算を実行した．しかしながら，安定域においてはそれなりの計算結果につながるものの，自由群の自己同型群の関係子たちへの作用の記述が大変複雑であり，非安定域における計算にはおよそ不可能であることが分かった．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
群の表示を用いた組み合わせ群論的手法による，自由群の自己同型群のねじれ係数コホモロジーの計算については，非安定域においては，安定域における計算手法や計算の簡易化がことごとく適用できず，直感による解決に頼らなければ計算が全く進まないことが殆どであり，思うような結果が得られなかった．
一方，階数３の場合に限って，Outer spaceの幾何を利用した手法を用いても想定した以上に計算量が多く，計算の確認を行うだけでも莫大な時間とエネルギーを要し，なかなか最後まで到達していないのが現状である．
しかしながら，概ねの計算は終了しており，現在は，これまで得られている種々の結果と，本研究による計算結果との整合性を確認している段階であり，その意味においては着実に計算が進んでいると解釈している．今後は計算の完遂に向けて気を引き締めて粘り強く研究を継続したいと考えている．
|
| Strategy for Future Research Activity |
第一に，現在計算を実行中である，階数３の自由群の自己同型群のねじれ係数コホモロジーの計算を完遂させる．現状，1か所だけこれまでに得られている結果と整合しない部分があり，その確認作業を何度も繰り返して行っている．まずはこの問題を解決したいと考えている．これにより，自由群のIA自己同型群のホモロジーと，自由群の自己同型群のねじれ係数コホモロジーに関して研究代表者が立てたある予想を示す一つの例が得られるので，是非とも完遂させたいと考えている．
一方で，自由群の自己同型群そのものを考察したのでは，あまりにも複雑すぎて状況を把握することすらままならないのが現状である．例えば，IA自己同型群の1次元有理コホモロジー群の三重カップ積については，GL表現論を用いても，手では負えないような量の既約成分が現れ，計算を進めるのが困難である．そこで，このような状況を打開するために，比較的に自由群の自己同型群と同じような性質をもつようなことが知られている，自由群の自己同型群のある種の部分群や剰余群などで同様の問題を設定して考察し，当初の問題解決の糸口を見つけたいと考えている．
|
| Causes of Carryover |
当初，群のコホモロジーや表現論に関する研究者を招聘し，セミナーや研究打ち合わせなどで専門的知識の提供，および情報交換などを行う予定だったが，日程などの折り合いがつかず実施に至らなかったこと，並びに，2020年の年明け以降，新型コロナウイルスの流行により，相次いで研究集会やセミナーが中止になり，出張などにかかる費用が抑制されたため．
|
Research Products
(3 results)
