Study on cohomologies of automorphism groups of free groups focued on the unstable range

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03477
• Research Institution: Tokyo University of Science
• Principal Investigator: 佐藤 隆夫 東京理科大学, 理学部第二部数学科, 教授 (70533256)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 自由群の自己同型群 / 群のコホモロジー

Outline of Annual Research Achievements

今年度も前年度までの研究を継続し，自由群のverbal部分群のアーベル化への，自由群の自己同型群の作用に関するねじれ係数1次元コホモロジーの計算を行った．
状況を簡単に述べる．dを2以上の整数とする．自由群においてある元のd乗として表される元すべて，及び任意の交換子すべてで生成される部分群をVとおく．すなわち，自由群のVによる剰余群は位数dの巡回群の直積群である．このような部分群Vは自由群のverbal部分群呼ばれ，Grossmanによって古典的に研究されていた．verbal部分群は特性部分群であり，Vのアーベル化には自由群の自己同型群が自然に作用する．昨年度までの研究により，Vのアーベル化を係数とするような自由群の自己同型群の1次元ホモロジー群には，dに応じて1次独立な非自明コホモロジー類がいくつか存在することが分かっていた．さらにそのうちの2つは，本質的に，自由群のアーベル化を係数とした場合の，自由群の自己同型群の1次元コホモロジー群の生成元として知られている，森田類を用いて構成されることが比較的容易に分かるが，それ以外の非自明なコサイクルの存在については意味づけができておらず存在理由も不明であった．
今年度は自由群の階数が2であって，dの値をいくつか変化させた場合の計算を進め，それらの結果から，Vのアーベル化はdが素数の場合の直和として分解するのではないかということが予想され，いくつかの場合にそれが正しいことが証明できた．現在は，dや自由群の階数がより一般の場合に証明ができないか研究中である．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

本研究は他に類似の研究がなく独創性が強い反面，研究推進のために参考になる理論や手法を自ら構築する外ない状況で，現段階ではまず手計算による手法以外に方法がない．しかしながら，自由群の階数が一般の場合を扱うには計算が煩雑になりすぎてしまい，計算に多大な時間を要するのが難点である．

ただ，もう少し計算例を積み上げれば，一般の場合に対する何らかの予想が経ちそうな状況ではあり，引き続き根気強く取り組みたいと考えている．

Strategy for Future Research Activity

比較的計算が進展している段階であるので，当面は現状の手法を維持して研究を進める．ある程度の計算結果がすでにまとまりつつあるので，適宜状況を見ながら論文にまとめる作業を行っていきたいと考えている．

現在は組合せ群論を主体とした計算がメインであるが，今後はOuter spaceの幾何を用いた計算などとの関連性なども詳しく調べることにより，今回の研究で得られた非自明なコサイクルたちの幾何学的な意味づけや，これらのコホモロジー類のカップ積を取ることで高次元の非自明コホモロジー類を構成できるかなども大変興味深い研究であり，積極的に取り組んで行きたいと考えている．

Causes of Carryover

コロナの影響により，旅費などへの支出が抑制的であったため，次年度に引き継ぐこととした．