Study on cohomologies of automorphism groups of free groups focued on the unstable range

2023 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 19K03477
• Research Institution: Tokyo University of Science
• Principal Investigator: 佐藤 隆夫 東京理科大学, 理学部第二部数学科, 教授 (70533256)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 自由群の自己同型群 / 群のコホモロジー

Outline of Annual Research Achievements

本研究課題の目的は，非安定域を中心とする自由群の自己同型群のねじれ係数コホモロジー群の構造を明らかにすることである．研究期間の前半では主に，階数が3の場合に，自由群のアーベル化を通して作用するようないくつかの加群を係数とする自由群の自己同型群のコホモロジーの計算を，Outer spaceの幾何を利用して行った．研究代表者による先行研究では，IA自己同型群の1次元コホモロジー群のカップ積の双対加群を係数とするような，自由群の自己同型群の安定2次元コホモロジー群に関しては，いくつかの一次独立なコサイクルが得られていた．（Lindellや片田舞らの独立した最近の研究成果により，これらは2次元コホモロジーの生成元を与えることが知られている．）本研究で行った計算では，階数が3の場合にある種の退化が起こることが確認され，他の研究成果と合わせて論文にまとめて投稿し，現在改訂中である．
一方，自由群のアーベル化を経由するような加群に関しては上記内容を含めそれなりの結果が蓄積されつつあることから，今後は自由群のアーベル化を経由しないような加群を係数とするコホモロジー群の構造に注目することが肝要であると考えられる．このような観点から，研究期間の後半では，自由群のverbal部分群のアーベル化を係数とした自由群の自己同型群のねじれ係数コホモロジー群の性質についての研究を行っている．verbal部分群への作用を考えることで，自由群の自己同型群をより階数の高い自由群の自己同型群に埋め込めるが，これにより，2つの一次独立な森田コサイクルが存在することが分かるが，本研究では階数が2の場合に，一般にコホモロジー群の次元が2以上となることが確かめられた．今年度はこの意味付けとして，自由群のverbal部分群のアーベル化の不変部分加群に関するいくつかの結果が得られ，階数の一般化も含め研究継続中である．