Study on antipodal sets of symmetric spaces and related geometry

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K03478
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Tokyo University of Science
• Principal Investigator: Tanaka Makiko 東京理科大学, 創域理工学部数理科学科, 教授 (20255623)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 対称空間 / リー群 / 対蹠集合 / 対蹠部分群 / 極地

Outline of Final Research Achievements

We classified maximal antipodal sets of some classical compact symmetric spaces M and those of the quotient spaces of M up to congruence. Using the realization of each compact symmetric space as a polar of a certain compact Lie group G, we gave explicit descriptions of the representatives of each congruent class of the maximal antipodal sets using matrices. Furthermore, we determined the maximum of the cardinalities of maximal antipodal sets and maximal antipodal sets whose cardinalities attain the maximum. Since M is realized as a polar of a certain disconnected compact Lie group if M is an outer compact symmetric space, we studied polars of a disconnected compact Lie group and clarified their fundamental properties.

Free Research Field

微分幾何学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

対称空間は各点で点対称が定義できる空間で、様々なよい性質をもつことが知られている。コンパクト対称空間の対蹠集合はそのコンパクト対称空間の性質を反映した有限部分集合であり、極大対蹠集合の分類や位数の最大値の決定は、対蹠集合の構造や性質を解明するための手掛かりになる。極大対蹠集合の分類の研究を通じて、非連結コンパクトLie群の極地の研究やコンパクトLie群の奇数被覆度の被覆準同型写像による対蹠集合の対応の研究などへの発展があった。対蹠集合は、その有限性から、対称空間論と有限群論や組合せ論などとを関連付けるものであり、研究成果により対称空間の他分野への応用が期待できることから意義があると考えられる。