2019 Fiscal Year Research-status Report
Adiabatic limits in geometric quantization and affine geometry
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19K03479
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
吉田 尚彦 明治大学, 理工学部, 専任講師 (70451903)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 幾何学的量子化 / Lagrangeファイバー束 / Spin-c量子化 / 実量子化 / 断熱極限 / アファイン体積 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Kostant-Souriauによる幾何学的量子化において，量子Hilbert空間の構成には偏極と呼ばれる付加構造が必要で，得られた結果が偏極の選び方に依存するかどうかが問題になる．これについて，Kahler偏極の1係数族でその極限が実偏極に収束するものがいくつかの場合に知られている．一方，シンプレクティック多様体上の概複素構造が可積分とは限らない場合に対して，Kahler量子化を一般化したSpin-c量子化と呼ばれる方法がある．これまでの研究では，Lagrangeファイバー束に対して，Spin-c量子化の断熱極限と実偏極を用いた幾何学的量子化の関係を研究し，ある仮定の下，前量子化束の切断の族{s_b | bはBohr-Sommerfeld点（以下，BS点）}で，断熱極限をとると各s_bは対応するBSファイバーに台を持つデルタ関数に収束し，かつSpin-c Dirac作用素Dによる像Ds_bが0に収束するものを構成した．概複素構造が可積分な場合には，{s_b}は正則切断の空間の基底にとれる．また，全空間上の関数fに対して前量子化束の切断の空間上に線型作用素Q(f)が定まるが，概複素構造が可積分である場合にQ(f)が{s_b}を保つ必要十分条件とその場合に作用素の{s_b}に関する表現行列を求めた．
今年度は，概複素構造が可積分でない場合に，上述の条件を満たすfについて{s_b}が張るHilbert空間のQ(f)による像と{s_b}が張るHilbert空間とのずれを考察した．
前量子化束はLagrangeファイバー束の双対トーラス束の切断を定め，この切断と零切断との交叉点はBS点と一対一に対応する．Yael Karshon，Mark Hamiltonとの共同研究では，空間がコンパクトな場合に，交叉点の個数が底空間のアファイン体積と一致することをいくつかの量子化の設定で考察した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
これまでの研究で得られた成果は全てが具体的に記述されている為，様々な考察が可能である．このため，概ね計画通り，研究を遂行することができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究実績の概要欄に述べたように，全空間上の関数fに対して前量子化束の切断の空間上に線型作用素Q(f)が定まるが，これについてこれまでの研究では，概複素構造が可積分である場合にQ(f)が{s_b}を保つ必要十分条件とその場合に作用素の{s_b}に関する表現行列を求めた．また，概複素構造が可積分でない場合に，上述の条件を満たすfについて{s_b}が張るHilbert空間のQ(f)による像と{s_b}が張るHilbert空間とのずれを考察した．
これを踏まえて，まずは概複素構造が可積分でない場合に上述の条件を満たすfについて，s_bのQ(f)による像の{s_b}の1次結合で表せない部分の評価を行う．
また，Lagrangeファイバー束の底空間のアファイン体積とBS点の個数との関係を，まずはMetaplectic-c量子化の場合に，Lagrangeファイバー束の双対トーラス束の交叉理論を用いて研究する．また，Lagrangeファイバー空間が非退化楕円型特異点を許容する場合にもintersection homology theoryなどを用いて一般化を試みる．
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| Causes of Carryover |
2019年は研究活動で8月始めまでカナダに滞在できた為，研究出張費が当初予定していたよりも少ない額で済んだ．
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