2020 Fiscal Year Research-status Report
New developments in spin geometry
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19K03480
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
本間 泰史 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (50329108)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | スピン幾何学 / クリフォード解析 / ラリタ-シュインガー作用素 / 高次スピン / スピノール場 / 定曲率空間 / 対称空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
次の２つ研究成果が国際学術誌に掲載された．（１）向き付き実グラスマン多様体Gr_o(2,n)における調和解析をHowe-双対の観点から研究し，ヒッグス代数の対称性をもつことを明らかにした（D. Eelbode氏との共同研究）（２）対称空間上のラリタ-シュインガー作用素の固有値の計算方法を構築し，具体的にいくつかの対称空間上で計算を実施した（富久拓磨氏との共同研究）．これらの研究は，主に２０１９年度に行われ，２０２０年度では論文の加筆・修正や学会発表を行った．
さて，上記（２）の研究ではスピンが3/2のディラック作用素であるラリタシュインガー作用素を扱っていた．２０２０年度の主要研究は，より高次のスピンをもつ高スピン-ディラック作用素（以下，HSD作用素）に対する調和解析である（富久拓磨氏との共同研究）．ユークリッド空間R^n上でのクリフォード解析学を少し曲がった空間（定曲率空間）上へ一般化したものだが，高次スピンの場合を扱った既存の研究はないため，この分野へ大きく貢献したと言えよう．特に，ラプラス作用素の(k+1)乗に対して，スピンが(k+1/2)次のHSD作用素が因子として現れる「因数分解公式」を明示的に得ることができた．HSD作用素に対する基本解の構成に利用される重要な公式である．応用として球面上のHSD作用素の固有値をすべて計算し，各スピン次数のスピノール場がどのように互いに影響しているかを明確にした．同様に，k次対称テンソル場上の微分に対する「因数分解公式」を定曲率空間において与えた．また，球面上の固有値を計算し，キリングテンソル場の関係を表現論的な視点から明らかにした．これら，球面上の成果の一部は，定曲率空間上にも拡張できる．以上の研究成果を国際学術誌に投稿した．
また，「アインシュタイン計量の変形理論」と「ラリタ-シュインガー場」の関連についての研究を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
２本の共著論文が国際誌に掲載されたことは大きな研究成果といえる．また，高次スピン-ディラック作用素（HSD作用素）の調和解析については，因数分解公式が得られることは予想できたが，HSD作用素の固有値計算・キリングテンソル場への応用・スピノール場と微分形式を混ぜた場合のホッジ-ドラーム分解などの結果が得られたことは予想外の成果といえる．また，研究代表者の研究成果ではないが，本研究の目的に一つであったNearlyケーラー多様体上のラリタシュインガー場の存在・非存在について，所属研究室の学生らがほぼ明らかにし，変形理論とも関連づけることができた．以上のように，本研究課題の主目的であるスピン3/2（またはスピンk/2)幾何学に対する研究は．大きく進展したと言えよう．
しかし，学内業務が大幅に増え，コロナ禍での講義の準備負担も増加したことにより，２０２０年度後半は研究時間をあまり取れなかった．また，スピン3/2幾何以外の本課題の目的である「四元数ケーラー多様体と指数定理」「グラスマン多様体上の調和解析」については，全世界的なコロナウイルスの影響で，海外共同研究者の来日がキャンセルされたこともあり，あまり進展がなかった．
以上を総合的に判断すると，おおむね順調に進展しているといえよう．
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| Strategy for Future Research Activity |
まず，２０２０年度の高次スピン-ディラック作用素に対する研究成果について，研究会などで発表をする．微分幾何以外の表現論の専門家からも意見を伺い，新しい方向性を見出したい．
次に，具体的な研究として次の３つの話題の研究を計画している（１）高次スピン-ディラック作用素に対する因数分解公式の対称空間上へ拡張を行う．関連した話題として，捻じれディラック作用素の対称空間上で第一固有値の計算を行う（２）佐々木-アインシュタイン多様体，Nearly平行G2多様体上のラリタシュインガー場についての研究（３）スピンｃ構造を持つ場合のラリタ-シュインガー場の研究，特に，平行ラリタ-シュインガー場をもつ多様体の分類．
これまでと同様に，国外の研究協力者及び研究室所属学生らの研究協力をお願いする．また，研究費は，共同研究を実施するために主に国内外旅費として使用する予定である．昨年度開催を予定していた国際研究会を今年度実施する予定であるため，その招聘旅費としても利用したい．しかしながら，コロナの影響が大きいので，開催できない場合は臨機応変に対応する．
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| Causes of Carryover |
Covid19の影響により，計画していた国内外旅費が使用できなかった．使用できなかった一部は，オンライン研究打ち合わせ用にタブレットPCを購入した．
本研究の遂行するために，海外研究協力者との研究打ち合わせが不可欠であるので，その海外旅費または招聘旅費として使用する，また，本研究課題に関連した研究会を開催する予定であるため，国内外の研究者の旅費として使用する．コロナの影響が大きいので，臨機応変に対応する．
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