2023 Fiscal Year Research-status Report
Coxeter群の増大度とCoxeter元のスペクトル半径の間のMcKay対応
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19K03481
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
小森 洋平 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70264794)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | コクセター系 / 基本領域 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
コクセター系(W,S)の生成系Sによる、群Wの母関数(増大度関数)の収束半径の逆数は増大度と呼ばれ、Sの元が鏡映として空間に離散的に作用する際、Wの基本領域である多面体が空間をタイル張りする拡がり方を表す量である。一方(W,S)から |S|-次元実アファイン空間に W-不変な2次形式Bが定義され、(W,S)の幾何学的実現と呼ばれるWから直交群O(V, B)への単射準同型が定まる。この時コクセター元と呼ばれるWの元のスペクトル半径が、(W,S)の幾何学的実現から一意に決まる。 今年度は２次元双曲コクセター群の指数２の部分群であるフックス群のディリクレ基本領域の形状について研究を行った。具体的には双曲コクセター四角形の４つの辺の鏡映が生成する双曲コクセター群の指数２の部分群であるフックス群（以下、四角群という）のディリクレ基本領域が基点の取り方で何角形になるかを調べた。既存の結果から辺の数は６、８、１０の可能性があるが、任意の四角群に対し、双曲コクセター四角形の４つの辺の上に基点を取るとディリクレ基本領域は６角形になり、非調和比から定まる曲線上に基点を取ると８角形になり、その他の場合に１０角形になることを数値実験で確認した。先行結果である三角群の場合は、双曲コクセター三角形の３つの辺の上に基点を取るとディリクレ基本領域は４角形になり、内部に基点を取ると６角形になったので、特殊な曲線上に基点を取ると８角形が現れたのは四角群の場合の新しい現象である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は２次元双曲コクセター群の指数２の部分群であるフックス群のディリクレ基本領域の形状について研究を行った。具体的には双曲コクセター四角形の４つの辺の鏡映が生成する双曲コクセター群の指数２の部分群であるフックス群（以下、四角群という）のディリクレ基本領域が基点の取り方で何角形になるかを調べた。既存の結果から辺の数は６、８、１０の可能性があるが、任意の四角群に対し、双曲コクセター四角形の４つの辺の上に基点を取るとディリクレ基本領域は６角形になり、非調和比から定まる曲線上に基点を取ると８角形になり、その他の場合に１０角形になることを数値実験で確認した。先行結果である三角群の場合は、双曲コクセター三角形の３つの辺の上に基点を取るとディリクレ基本領域は４角形になり、内部に基点を取ると６角形になったので、特殊な曲線上に基点を取ると８角形が現れたのは四角群の場合の新しい現象である。これまでは数値実験のみ行っている現状だが、双曲コクセター四角形の４つの頂点が全て無限遠にある場合（この場合、理想双曲コクセター四角形という）、非調和比から定まる曲線平面は3次曲線になることを示すことができ、ちょうど複素トーラスの切り口のような曲線が基本領域内に現れる。このことは理想双曲コクセター群が一意化する４点穴あき球面が、１点穴あきトーラスとcommensurableであることと関係していないか、現在理論面の考察を行なっている。
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| Strategy for Future Research Activity |
双曲コクセター四角形の４つの辺の鏡映が生成する双曲コクセター群の指数２の部分群であるフックス群（以下、四角群という）のディリクレ基本領域が基点の取り方で何角形になるかを調べた。既存の結果から辺の数は６、８、１０の可能性があるが、任意の四角群に対し、双曲コクセター四角形の４つの辺の上に基点を取るとディリクレ基本領域は６角形になり、非調和比から定まる曲線上に基点を取ると８角形になり、その他の場合に１０角形になることを数値実験で確認した。先行結果である三角群の場合は、双曲コクセター三角形の３つの辺の上に基点を取るとディリクレ基本領域は４角形になり、内部に基点を取ると６角形になったので、特殊な曲線上に基点を取ると８角形が現れたのは四角群の場合の新しい現象である。これまでは数値実験のみ行っている現状だが、双曲コクセター四角形の４つの頂点が全て無限遠にある場合（この場合、理想双曲コクセター四角形という）、非調和比から定まる曲線平面は3次曲線になることを示すことができた。このことから基点がディリクレ基本領域の境界から内部を通って動くとき、６角形が８角形になり、更に１０角形になる様子を想像することができる。しかしより詳細な考察を行うには、基点の動きと同時進行でディリクレ基本領域が変形するプログラムが必要である。非常に対称性の強い双曲コクセター四角形の場合に、基点の座標を入力すればディリクレ基本領域を求めるプログラムを現在共同研究者が開発したので、このプログラムを今後改良することにより、任意の四角群についてのディリクレ基本領域の形状問題が解決することが期待される。
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| Causes of Carryover |
当年度に予定していたスイスのフリブール大学でのケラハルス教授との共同研究が延期となった。今年度は国内外の国際研究集会への参加や共同研究への旅費に、助成金の次年度使用額を用いたい。
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