2019 Fiscal Year Research-status Report
Automation of Classification of Singularity by using Comprehensive Groebner Systems
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19K03484
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
寺本 央 北海道大学, 電子科学研究所, 准教授 (90463728)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
鍋島 克輔 徳島大学, 大学院社会産業理工学研究部(理工学域), 准教授 (00572629)
加葉田 雄太朗 九州大学, 長崎大学情報データ科学部, 助教 (40830097)
泉屋 周一 北海道大学, 理学研究院, 名誉教授 (80127422)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 包括的標準系 / 混合加群 / 特異点論 / 計算代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Mixed-moduleとは二つ以上の異なる環上の加群の和として書かれるものであり、特異点論の文脈ではA同値、K_B同値、A[G]同値(divergent diagramも含む)等の様々な同値関係の下で定義される接空間として現れる重要な構造である。このMixed-Moduleに対する標準基底の概念はGatermannとHostenらにより2005年に出されたが、本研究ではまずその明示的な計算アルゴリズムを与えた。次にその標準基底の概念を拡張しパラメータ付のmixed-moduleに対する包括的標準基底の概念を提出、その具体的な計算アルゴリズムを構築した。また、そのアルゴリズムをSingularに実装し、複雑なモジュライパラメータを含むA同値の分類問題に適用することで新たなA同値に対する写像芽の分類を得た。本結果は、数式処理のトップカンファレンスの一つであるISSACに投稿し受理された。
また、特異点論のバンド理論への応用のレビュー(H. Teramoto, et al., Journal of Singularities, 21 (2020), 268-281.)、特異点の自動分類アルゴリズムとその応用に関する一般向けの解説記事, 数学セミナー（日本評論社）の2020年3月号、4月号の数理のクロスロードの連載記事を執筆した。多目的最適化におけるパレート集合とフロントの微分位相幾何学的分類も進めており、いくつかの学会/研究会においてその成果を発表している。現在、関連する論文を一報投稿中(Hamada et al., arXiv:1904.03615 [math.OC])、残りの部分は現在論文執筆中であるが来年度報告予定である。また、上記アルゴリズムの非断熱遷移ダイナミクスへの応用の論文(Domitrz et al., arXiv:2004.11941)も現在投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
申請時の研究計画調書でははじめに「包括的グレブナー基底系の概念をmixed moduleを扱えるように拡張し、計算代数をもちい特異点分類のための具体的なアルゴリズムを構築する。」と書いた。Mixed-moduleとは二つ以上の異なる環上の加群の和として書かれるものであり、特異点論の文脈ではA同値、K_B同値、A[G]同値(divergent diagramも含む)等の様々な同値関係の下で定義される接空間として現れる重要な構造である。このMixed-Moduleに対する標準基底の概念はGatermannとHostenらにより2005年に出されたが、本研究ではまずその明示的な計算アルゴリズムを与えた。次にその標準基底の概念を拡張しパラメータ付のmixed-moduleに対する包括的標準基底の概念を提出、その具体的な計算アルゴリズムを構築した。また、そのアルゴリズムをSingularに実装し、複雑なモジュライパラメータを含むA同値の分類問題に適用することで新たなA同値に対する写像芽の分類を得た。本結果は、数式処理のトップカンファレンスの一つであるISSACに投稿し受理された。
それと並行し特異点分類の一般的枠組みの構築を行い論文を執筆中である。上記アルゴリズムの開発により、その具体例の構築および分類問題を機動的に行うことが可能となってきており、望ましい一般的枠組み、の検証基盤が整いつつある。
以上のことより、研究調書の概要で記述したことの5割は達成されたので、本研究課題はおおむね順調に進展しているといって差し支えないと思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究調書の概要の後半で記述した、同変性が加味された特異点の分類における有限確定性の評価の改良、モジュライパラメータを含む分類に対する認識問題の計算代数による自動判定、分類の重複度、チャーン数、Winding Number、Vassiliev型不変量等の不変量の計算アルゴリズム構築、Adjacency Diagramの自動構築アルゴリズム等の開発、等を行う。
またそれらの固体物理のバンド理論、量子化学の非断熱交差の幾何、多目的最適化におけるパレート集合/パレートフロントの微分位相幾何学的分類、等に応用する。
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| Causes of Carryover |
今年度は人件費を15万計上しており、その予算で短期支援員を雇用、プログラム開発を行い、必要があれば研究分担者のところに帯同する予定であったが、要件を満たす適任者が見つからなかった。次年度、学部4年生をプログラム開発のために雇用し、昨年度実施する予定であったプログラム作成のための人件費および旅費に充てる予定である。
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