2019 Fiscal Year Research-status Report
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19K03485
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
加藤 久男 筑波大学, 数理物質系(名誉教授), 名誉教授 (70152733)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 位相力学系 / 幾何学的トポロジー / カオス / 位相エントロピー / フラクタル / 位相次元 / 連続体 / Takensの埋込み定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、幾何学的トポロジーの主な研究対象であるコンパクト距離空間・可分距離空間とその上の連続写像の位相力学的・幾何学的性質を、位相空間論・幾何学的トポロジー（特に連続体論）と位相力学系理論およびエルゴート理論を駆使して総合的に研究する。力学系理論に現れる複雑な不変集合の幾何構造と力学的構造の解明を研究のメインテーマとする。そうした複雑なコンパクト距離空間の幾何構造・力学的構造はたいへん興味深い研究対象である。本研究の研究実績として以下の結果を得ている。外国人研究者との共同研究で、エントロピー正の力学系は複雑な幾何構造を許容することを証明した。すなわち、正のエントロピーをもつ同相写像を許容するグラフ・ライクな連続体は、分解不可能な連続体を含む。この結果は、エントロピーと分解不可能性に関するこの方面の大きな問題の解決となった。さらに正のエントロピーをもつ同相写像を許容するグラフ・ライクな連続体について、最終的な構造定理（幾何学的構造と力学的構造の関連を表示する）を得た。この定理は幾何的な構造と力学的な構造の複雑さがバランスよく調和した定理である。また、一般的な逆極限の幾何構造についての研究を行った。特に、その逆極限の次元についての強力な評価式を得た。力学系のゼロ次元表示についても研究成果を得た。この研究の副産物として、時系列解析から力学系を再構成できるという有名なTakensの埋込み定理が知られているが、我々はごく最近この定理をより一般的な空間と連続写像にまで拡張できることを発見した。Takenの定理は実際の実験から数学モデルの再構成可能を保証する貴重な定理であるが、多様体上の滑らかな力学系に限られる。我々の定理は、より一般的な空間の力学系にも応用できる拡張定理である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
力学系のゼロ次元表示についての研究も行ってきたが、この研究の副産物として、当初は全く予想していなかった以下の定理を発見した。時系列解析から元々の力学系を再構成できるという有名なTakensの埋込み定理が知られている。このTakenの定理は、実際の実験データ（１次元データ）からその現象の数学モデルを再構成できることを保証する科学全般にとって貴重な定理である。1981年Takensがこの定理を証明して以来、多くの分野、例えば、物理、化学、情報理論、生命科学、工学などありとあらゆる科学分野でこの定理が使用されてきた。しかしその力学系は滑らかなものに限られていた。我々は、ごく最近この定理を全ての連続写像にまで拡張できることを発見した。我々の定理は、一般的な空間上の力学系にも応用できる力学的埋蔵定理である。この定理は、実際の自然科学研究（数理モデルの構築）に大きく貢献する結果と考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
2020年度も2019年度の基本方針に従い研究を進める予定であるが、研究の進み具合に応じて研究テーマの内容の検討を行い、その時点で必要に応じた連携研究者・分担者の追加など研究計画を弾力的に見直していく予定である。また、2020年度は研究代表者および連携研究者は国内外の研究集会・国際会議に積極的に参加し、研究発表や研究成果のレビューもできるだけ積極的に行っていく予定である。本研究を進める上で国内外の研究者との研究協力は欠かすことができないものと考えているからである。特に各研究テーマについて内外の研究者との共同研究・討論を更に精力的に行い、本研究をさらに進展させたい。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症が世界に拡大したため、計画していた国際研究集会の参加を取りやめた。今後さらに、国内外の研究集会において研究発表を数多く行う予定である。
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