2019 Fiscal Year Research-status Report
ねじれアレキサンダー多項式を中心とした双曲多様体の不変量の研究
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19K03487
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| Research Institution | Tokyo University of Agriculture and Technology |
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Principal Investigator |
合田 洋 東京農工大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (60266913)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | アレキサンダー多項式 / ねじれアレキサンダー多項式 / 行列重み付きグラフのゼータ関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は研究計画調書（概要）の研究目的（I）～（V）のうち，（I）「ねじれアレキサンダー多項式に１の冪根を代入した値のふるまい」，（II）「ねじれアレキサンダー多項式のねじれゼータ関数を用いた表示，ファイバー結び目の場合のねじれレフセッツゼータ関数を用いた表示」について研究を行った．
（II）については結び目ダイヤグラムから得られるグラフに行列の重みを付けたものに対するゼータ関数という概念を用いてねじれアレキサンダー多項式を表示することに成功した．結果をまとめ，Twisted Alexander polynomial and Matrix-weighted zeta function という論文を執筆し，査読をへて，２０２０年２月にKyushu Journal of Mathematicsから出版することができた．その後さらに研究を進め，この行列重み付きグラフのゼータ関数を用いた結び目の体積表示を得ることができた．これらの研究結果を８月２１日に神戸大学で行われた拡大KOOKセミナー，１１月１０日に中国成都で行われたトポロジーおよびその応用に関する第３回環太平洋国際研究集会にて発表した．また先行研究結果を含めた最近の研究内容を東京電機大学（１０月２９日）と東京理科大学（１月２７日）の談話会で紹介した．
（I）については，スペイン，フランスの数学者４名の共同研究によって先に研究結果を出されてしまった．内容は研究代表者の先行研究を拡張したものであり，ねじれアレキサンダー多項式に１だけでなく１の冪根を代入した値からも結び目補空間の体積が抽出できるというものであった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究目的（概要）に記した５つのステージ（I）～（V）のうち（I）については研究代表者の研究ではなく海外の研究者によってだがとにかく進展が得られた．（II）については研究代表者の昨年度の研究によりかなりの部分を解明することができ論文を出版することができた．現在，研究目的（概要）（III）の「結び目を平行化して得られる絡み目に対する多変数ねじれアレキサンダー多項式の研究」に従事している．これについては昨年度発表された日本人２名，海外研究者１名によるトーラス絡み目に関する共同研究が参考になることがわかりその内容を勉強中である．うまく研究につなげられればしかるべき結果が得られると考えている
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| Strategy for Future Research Activity |
上記７．現在までの進捗状況で記述したトーラス絡み目に関する先行研究をまず正確に理解したい．その上で，その先行研究を本研究課題に当てはめ応用を試みたい．
コロナウイルス蔓延のため実施できるかどうかわからないが，６月上旬に九州大学にて「ねじれアレキサンダー不変量」というタイトルの集中講義を予定しており現在その準備を進めている．講義の最後に予定されている九州大学のトポロジーセミナーにて現在進行中の最新研究内容について発表しレヴューを受けるつもりである．
今年度はコロナウイルスにより研究集会での研究最新情報の収集や研究発表にかなり支障が出そうである．一方，その対策として遠隔授業やweb会議の設備が推進されているようなので，その設備を利用して研究打ち合わせや研究最新情報の交換ができるよう対応したいと考えている．
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| Causes of Carryover |
昨年度後半に予定されていた研究集会がコロナウイルス対策の為中止となり旅費が約４万円余った．今年度の旅費に充当したいと考えている．
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