2022 Fiscal Year Research-status Report
Study of discrete geometric analysis using numerical analysis and computer graphics
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19K03488
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
内藤 久資 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (40211411)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 離散曲面 / 深層ニューラルネットワーク |
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| Outline of Annual Research Achievements |
３分岐離散曲面をシステマティックに構成する方法を考察した．これまでの研究では，周期的３分岐離散曲面を標準実現を用いて構成し，その細分列の収束を考察していた．一方，古典的な極小曲面論では，ワイエルシュトラス公式によって，正則写像と正則微分形式から極小曲面（の断片）を構成することができる．この方法を３分岐離散曲面に適用することを目標に研究を行った． この研究に関しては，現時点で最終的な結果までは得られていないが，システマティックな構成を可能である途中経過を得ている．
一方，変分問題の解を数値的に計算する新しい方法として，深層ニューラルネットワークを用いる手法を考察した．その第一の例として，１次元ポテンシャルの下での複数粒子に関するシュレディンガー方程式の定常基底状態を深層ニューラルネットワークを用いて数値解を構成した．この手法では，２つおよび３つのフェルミ粒子であっても，基底状態のみならず，いくつかの励起状態も極めて高速に計算可能であることを示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
３分岐離散曲面の収束理論に関して，ワイエルシュトラス型公式を構成する見通しがついたこと．また，機械学習的手法による数値計算の具体例に対して，予想以上の結果を得たことによる．特に機械学習的手法による数値計算では，教師なし学習を用いてシュレディンガー方程式の（対称化・反対称化）基底状態および低い励起状態の計算に成功したことは大きな成果であり，今後の研究方針に大きな進展をもたらしたことによる．
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| Strategy for Future Research Activity |
３分岐離散曲面論に関しては，ワイエルシュトラス型公式の完成を目指し，具体的な３分岐離散曲面の構成とその収録理論を考察する．また，機械学習的手法による数値計算の優位性を考察して，幾何学的変分問題の解の構成を行う．
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| Causes of Carryover |
新型コロナ感染症の蔓延の影響で，今年度も対面での研究打ち合わせ，成果発表などが少なく，旅費使用額が予定を大幅に下まわったことが大きな原因である．次年度は対面での研究打ち合わせ・成果発表で例年よりも多く行う予定である．また，研究成果をオープンアクセスとして公表するための経費として利用する予定である．
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