2021 Fiscal Year Research-status Report
Study on curvatures from the viewpoint of new convexities and its application to geometric analysis
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19K03494
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
高津 飛鳥 東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (90623554)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 固有値問題 / 熱流 / 凹性 / 曲率 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
正に曲がったリーマン多様体の固有値問題の比較原理において、モデルとなる空間は球面である。そして球面上の一様分布は、適切なスケール変換を施したのちに球面の次元を無限次元に飛ばすと、ガウス測度に収束する。このとき、球面の固有値はガウス空間の固有値に収束するのみならず、ガウス空間の全ての固有値は球面の固有値の極限として表されることが知られている。しかしガウス空間の非零固有値に対する固有空間の次元と対応する球面の非零固有値に対する固有空間の次元は一致しない。
申請者は、球面の固有空間の中で射影によって不変な部分空間が球面の次元を無限次元に飛ばしたときにガウス空間の固有空間に収束すること、および、ガウス空間の全ての固有空間は球面の固有空間の中で射影によって不変な部分空間の極限として表されることを示した。応用として、適切な初期値に対する球面上の熱流が、球面の次元を無限次元に飛ばしたときに、ガウス空間上の熱流に収束することを示した。さらに固有空間に関する結果を、球面上の開円板上のディリクレ固有値問題とガウス空間上の半空間のディリクレ固有値問題に対する結果へと拡張した。これらは論文にまとめ投稿し、アクセプトされ、現在、出版待ちである。
また、ユークリッド空間におけるディリクレ熱流の凹性保存則に関する研究を、昨年度以前同様に東京大学の石毛和弘氏とフィレンツェ大学のPaolo Salani氏とともに進めている。昨年投稿した論文２件はアクセプトされた後に出版され、また2022年度年会で講演した内容については、現在論文執筆中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の予定通り、熱流に関する幾何解析、とくに形状保存則に関する解析を東京大学の石毛和弘氏とフィレンツェ大学のPaolo Salani氏とともに進めている。また、情報幾何に関する考察、とくにダイバージェンス（相対エントロピー）に関する解析を名古屋工業大学の松添博氏と進めている。
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| Strategy for Future Research Activity |
熱流の保存則で表れる凹性は、情報幾何におけるダイバージェンスを導く。
今までの研究において、熱流の保存則に表れる凹性を決定し、そしてダイバージェンスが導く情報幾何構造を解析した。
そこで今後の研究では、熱流の保存則で表れる凹性を最適輸送理論の観点から考察し、そして付随するダイバージェンスの最適輸送理論に関する幾何構造、特に曲率に関する性質を究明することを目指す。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍の影響でいくつかの国際研究集会が延期になったため、また、対面による研究議論が思うように行えなかったため。
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