境界付き多様体のMorse理論と, そのFloer理論への応用

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03495
• Research Institution: Tokyo Metropolitan University
• Principal Investigator: 赤穂 まなぶ 東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (30332935)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: シンプレクティック多様体

Outline of Annual Research Achievements

閉多様体上のMorse理論ではMorse関数の勾配ベクトル場の積分曲線を用いることにより、いわゆるMorseホモロジーやMorse複体上の積構造を構成することができた。本研究課題ではこれまでに境界付き多様体上の勾配ベクトル場が境界に沿うMorse関数を用いて境界付き多様体においてもMorseホモロジーやMorse複体上の積構造が構成できることを明らかにしてきた。また同時に、閉多様体上のMorseホモロジーが閉シンプレクティック多様体内の閉Lagrange部分多様体のFloer理論に対応しているのに対し、本研究課題では境界付き多様体上のMorseホモロジーがconcave型のエンドを持つ非コンパクトなシンプレクティック多様体における、Legendre型のエンドを持つ非コンパクトなLagrange部分多様体のFloer理論に対応していることを明らかにした。当該年度は非コンパクトなLagrange部分多様体という観点からLeung-Yau-Zaslowによって示された双対トーラス束におけるFourier-Mukai変換に現れるLagrange切断に注目した。特にここでは双対トーラス束としてトーリック多様体のトーリックdivisorの補集合を考え、その場合にはLagrange切断のグラフが非コンパクトなLagrange部分多様体になる。通常、シンプレクティックトーリック多様体はシンプレクティック商として構成されるが、ここでは双対トーラス束の構造を調べるために、トーリック多様体を非斉次座標とaction-angle座標から再構成した。これらはLagrange切断や擬正則円盤を具体的に記述するために必要な道具となる。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

シンプレクティック幾何におけるトーリック多様体の構成方法としてDelzant構成とよばれるものが広く知られている。これはDelzant多面体とよばれるユークリッド空間内の凸多面体から出発してトーリック多様体をシンプレクティック商として構成する方法である。このDelzant構成の難点は、Delzant多面体から得られる具体的なデータから出発しているにもかかわらず、シンプレクティック商を取ることにより最終的に得られるトーリック多様体が少し扱いずらいものになることである。一方、複素幾何では扇から出発してトーリック多様体の非斉次座標を構成する方法が知られている。実はこの２つの構成方法から得られる多様体は微分同相であることが知られているが、扇によるトーリック多様体の構成は代数幾何の言葉が必要になる。今回、本研究ではDelzant多面体もしくは扇から出発してシンプレクティック幾何におけるトーリック多様体を非斉次座標による座標近傍系から直接構成する方法を与えた。この構成方法自体がどれほど新しいと言えるかは多少不明であるが、少なくともこの構成方法によりLagrange切断や擬正則円盤をaction-angle座標により具体的に表すことが可能になる。また運動量写像も記述できることからトーリック多様体のトポロジーを直接調べることも可能になると予想される。当該年度は複素幾何における扇からの非斉次座標の構成法を理解するために多少時間を要したが、シンプレクティック幾何における座標近傍を与えることができたのでそれなりの進捗が得られたと言える。

Strategy for Future Research Activity

まずは該当年度に得られたシンプレクティック幾何におけるトーリック多様体を座標近傍系から直接構成する方法についての結果をまとめる。この構成方法自体がどれほど新しいと言えるかは多少不明であるが、今後の研究の重要な出発点となると予想される。次にこのトーリック多様体の座標を用いて具体的に調べることができると予想されるいくつかのことをいろいろ試す予定である。その一つとしてaction-angle座標でLagrange切断やその他のLagrange部分多様体を表し、それらを境界値に持つ擬正則円盤を具体的に求め分類できるかを調べる。また運動量写像を非斉次座標で記述し、トーリック多様体のトポロジーを直接調べることを考える。具体的には運動量写像を用いてトーリック多様体上のMorse関数を構成することができるが、その臨界点はトーラスの作用の固定点となり、非斉次座標を用いることによりMorse指数が計算できると思われる。また複数のMorse関数とその勾配ベクトル場の積分曲線を用いてMorse複体上の積を構成できるかを調べ、その積の結合係数がDelzant多面体のデータから計算できるかを調べる。しばらくはこれらの基本的な事項の確認に研究時間が費やされると思われる。また本研究課題は次年度が最終年度であるため、これまでに得られた境界付き多様体上のMorse理論に関する考察をまとめる予定であるが、トーリック多様体におけるMorse理論に関する研究の進捗状況が好調であれば、徐々にそちらに研究の比重をシフトさせる可能性がある。いずれにせよ今後もシンプレクティック幾何におけるMorse理論とFloer理論の研究を行う。

Causes of Carryover

次年度使用額が生じた理由は、新型コロナの影響で出張旅費の使用額がなかったためである。これはこれまでの使用実績および使用計画が全額旅費に当てられていたためやむを得ない判断であった。また本来は2021年度に国際研究集会East Asian Symplectic Conferenceを開催する予定であったが、これも開催されなかった。次年度に再び本科研費の使用が執行できない場合には延長と返上の両方の可能性を見据え、これからの使用計画を見直す。