2023 Fiscal Year Annual Research Report
境界付き多様体のMorse理論と, そのFloer理論への応用
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19K03495
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
赤穂 まなぶ 東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (30332935)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 境界付き多様体 / Morseホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Morseホモロジーとは多様体上のMorse関数を用いて多様体の位相幾何学的な性質を調べる方法の一つである。まず、多様体上のMorse関数から、その臨界点を形式的な生成元とする自由加群を作る。そして、その自由加群上にMorse指数の差が1となる2つの臨界点を結ぶ勾配ベクトル場の積分曲線の本数を結合係数とする境界準同型写像を定めることができる。そのホモロジー群をMorseホモロジーとよび、これは多様体の特異ホモロジー群と同型になることがわかる。従来のMorseホモロジーでは閉多様体を扱っていたが、本研究課題では、境界付き多様体におけるMorseホモロジーの研究と、そのFloer理論への応用を行なった。期間全体を通じて実施した研究の成果は、境界付き多様体におけるMorseホモロジーのカップ積および、より高次の積構造を定めることができた。ただし、この高次の積構造を具体的に記述することにはまだ及んでいない。その理由は、高次の積の結合係数を記述するための勾配treeの集合のコンパクト化の境界が組み合わせ的に複雑すぎて、その完全な記述がかなり困難を極めているからである。最終年度は、引き続きこの問題に取り組みつつ、Futaki-Kajiuraの複素射影空間におけるミラー対称性の研究に触発され、トーリック多様体のDelzant多面体におけるMorse理論についても考察した。Futaki-Kajiuraは角付き多様体であるDelzant多面体においてMorseホモトピーを構成しているが、Bott-Morse型の場合の彼らの構成法は通常のMorseホモロジーの構成方とは異なっており、今後も引き続き本研究課題の境界付き多様体のMorse理論との比較を行なっていく予定である。
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