2019 Fiscal Year Research-status Report
錐双曲多様体の標準的基本多面体族を用いた３次元幾何構造の研究
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19K03497
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
秋吉 宏尚 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (80397611)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 双曲幾何 / 錐多様体 / 曲面束 / クライン群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題では２次元球面を底空間とし，錐角πの錐特異点３点と錐角θの錐特異点１点を持つ２次元錐多様体と直線の直積，およびそれに位相的操作を施すことにより得られる３次元錐多様体が許容する錐双曲構造をFord領域とDirichlet領域の族として定義される標準的基本多面体族を手がかりとして詳細に調べることを目的とする．
今年度は，まず，これまでは数値実験を通して近似的には正しいであろうと予想されていた，円周上の錐特異点を１点持つトーラス束を超楕円的対称性で割って得られる錐曲面束に対する標準的基本多面体族を詳細に研究した．錐角を０から少しだけ大きくするときのFord領域からDirichlet領域のある種の安定性を示すことにより，いくつかの具体例に対して標準的理想多面体族の組み合わせ構造を決定することに成功した（論文投稿済）．研究の過程では，Jorgensen, Gueritaudらにより考察された，穴あきトーラス束の持つ「left-right性質」が組み合わせ構造の記述と関わりを持つことが期待されるとの知見が得られ．一般の束の研究へと応用する方法を模索中である．
また，大鹿健一氏（学習院大），John Parker氏（Durham大），作間誠氏（広島大），吉田はん氏（奈良高専）との共同研究により，Agolによりアナウンスされていた「２つの放物的元が生成する自由でないクライン群の決定」に詳細な証明をつけた（論文投稿中）．この研究により決定されるクライン群は，本研究課題の元となる理論により錐双曲構造を具体的に記述できる軌道体のホロノミー表現の像として得られることがすでに示されていおり，ここで得られた結果を本研究で対象とする対応物へと拡張するための基礎研究がひとつ完成したことになる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の中心的に取り扱う標準的基本多面体族は，これまでいくつかの単純な例を除けば，概要に述べたように数値実験による近似的に正しそうだという観察以外には確認できていなかったが，円周上の錐曲面束という位相的にも複雑で興味深い対象に対して決定することができたのは非常に大きな進展である．しかも，その研究の過程では，錐角を０に近づける極限では，標準的基本多面体族が極限の構造のFord領域へと「退化」すること，逆に，錐角０から少しだけ錐角をます場合には標準的基本多面体族にはある種の安定性があるという興味深い現象も観察され，これは今後の本研究課題の推進のために非常に重要な基礎をなすと期待される．
共同研究により得られた放物的２元が生成するクライン群の決定は，その拡張として，本研究課題で予想している錐双曲構造の変形理論を整備することにより，楕円的２元が生成するクライン群を決定する可能性を強く示唆するものである．そこではクライン群論の非常に深い様々な定理が用いられたが，それらを本研究課題の枠組みへと拡張するという新たな問題を得ることにもつながった．
また，１０月に大阪市立大学で世話役の一人として主催した研究集会「トポロジーとコンピュータ2019」の招待講演者Ser Peow Tan氏（シンガポール国立大）とHyungryul Baik氏（韓国科学技術院, KAIST），山下靖氏（奈良女子大）とともに，２元生成自由群のPSL(2,C)表現のあるスライスに含まれる表現の大域的性質に関する共同研究を開始し，これまでに得られている「奇妙な表現」に関する詳細な研究を進めている．３月にシンガポール国立大を訪問して集中的に研究を進める予定だったが，新型コロナウィルス蔓延の影響によりそれは不可能となり，遠隔セミナーなどを通して今年度以降の訪問を目指して研究を推進中である．
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度に引き続き，「一般的な基礎理論の整備」とその「主目的とする錐双曲構造特有の現 象の理解」を並行して進めていく予定である．今年度は円周上の錐曲面束の近くでは標準的基本多面体族のある種の安定性を確認できたわけだが，付随する「幾何学的無限な」錐双曲構造に対する標準的基本多面体族の組み合わせ的な特徴づけを，期待される「エンド不変量」の観点から考察したい．そこで得られる知見を元に，さらに，コンパクト凸核を持つ構造に対しても標準的基本多面体族の特徴づけを考察したい．特に，錐角がπを整数で割った形の軌道体の場合に，クライン群の理論に訴えることでフォード領域を組み合わせ的に決定し，それを用いた標準的基本多面体族の構造を考察する．
また，拡張されたRiley sliceとその境界から２橋絡み目錐多様体へとつながる錐双曲構造の変形族を詳細に調べていく予定である．予備的研究から続けている研究協力者 山下靖氏との共同研究を進め，８の字結び目錐多様体などの具体例に対して，錐双曲構造の変形族を構成することを目指す．また，拡張されたRiley切片上で山下氏により詳細に行われている数値実験を，標準的基本多面体族の観点から考察し，与えられた表現をホロノミーとして持つような錐双曲構造の具体的構成も行なっていきたい．
Tan氏，Baik氏，山下氏との共同研究で進めている２元生成自由群のPSL(2,C)表現の大域的性質に関し，与えられた表現をホロノミーとして持つ双曲構造の存在について，その必要条件と十分条件の両方の観点から精密化していきたい．幾何的に表現される条件をより単純な代数的条件へと書き換えることが必要となるが，そのためには基本多面体の性質に関するより精密な観察が必要となる．
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| Causes of Carryover |
国際共同研究としてS. P. Tan氏（シンガポール国立大学）らと進めている共同研究推進のため、３月にシンガポールのTan氏を訪問する予定だったが、新型コロナウィルスの影響によりキャンセルせざるを得なかった。現在は遠隔会議システムなどを利用して研究を進めているが、今年度以降の可能な限り早い時期にTan氏を訪れ研究推進の速度を増したい。
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Research Products
(2 results)
