2020 Fiscal Year Research-status Report
錐双曲多様体の標準的基本多面体族を用いた３次元幾何構造の研究
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19K03497
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
秋吉 宏尚 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (80397611)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 双曲幾何 / 基本領域 / 実射影構造 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の主目的は秋吉・作間・和田・山下（ASWY）による共同研究で行われた「双曲的２橋絡み目補空間の双曲構造を標準的な基本多面体を用いた具体的構成」の、主カスプを錐特異点集合に取り替えることで得られる錐多様体族に対する類似の理論を構築することである。ASWYで用いられた基本多面体はフォード領域と呼ばれるものであるが、その幾何学的双対としてEpstein-Penner理想多面体分割、さらにその一般化としてEPH分割が定義されてきた。一連の研究を通して現れる難点として、（多くの）無限体積双曲構造に対するフォード領域は無限遠境界を持つため、その組み合わせ構造を固定した際の幾何構造には大きな自由度があるという問題があり、それをいかにコントロールするかという構想が要求される。
今年度の大きな進展は、上述のようにフォード領域（およびその類似としてディリクレ領域）のみを手がかりとして進める研究で問題となった無限遠境界の理解のため、実射影空間の部分集合として実現される双曲空間のクラインモデルにおいてEPH分割の幾何学的双対を調べることで、無限体積双曲構造に対するフォード領域（ディリクレ領域）の自然な「コンパクト化」を得ることができるのではないかという着想に至った点である。この観点から、秋吉・作間により予想され、Gueritaudにより肯定的に解決された、一点穴あきトーラス-クライン群に対するEPH分割の性質はさらに一般化されると期待される。２橋絡み目補空間に対するASWYの変形族に対して数値実験を進めているが、これまでのところ、この期待を支持する結果が得られている。
また、昨年度までに得られた錐特異点を１点持つトーラス束のディリクレ領域に関する研究の一般化として、ファイバー構造を持つ双曲的２橋絡み目錐多様体へと拡張することを目指した研究も、阪田直樹氏（埼玉大）と連携して進めている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題における大きな問題点であった無限遠境界における双曲構造の自由度のコントロールに関する着想は、本研究開始時点では全く予想しなかった進展であった。これは、新型コロナウイルスの蔓延により生じている国際・国内共同研究の困難に比較しても余りあるほどの構想上の進展である。また、この着想に基づいて進めている数値実験も順調に進展しており、付随する様々な課題も見つかってきている。たとえば、作間誠氏（広島大学・大阪市立大学）らと進めている放物的２元が生成するクライン群の外部空間の解析への新たな視点をもたらすことも期待される。
昨年度までに得られた錐特異点を１点持つトーラス束のディリクレ領域に関する研究の一般化として、ファイバー構造を持つ双曲的２橋絡み目錐多様体へと拡張することを目指した研究を阪田直樹氏（埼玉大）と連携して新たに開始した。今年度は、同氏により解明された、ファイバー構造を持つ双曲的２橋絡み目補空間に対する標準的分割とファイバー構造の組み合わせ構造に関する性質を、フォード領域の言葉に翻訳することから研究を開始した。種数の低いものから順に詳細に観察することで一般的性質を導くことを目指している。
Ser Peow Tan氏（シンガポール国立大）と Hyungryul Baik氏（韓国科学技術院, KAIST）、山下靖氏（奈良女子大）とともに、２元生成自由群のPSL(2,C)表現のあるスライスに含まれる表現の大域的性質に関する共同研究を推進するため、昨年度末にシンガポール国立大を訪問して行う予定だった研究打ち合わせは、それから現在まで続く新型コロナウィルスの蔓延のために依然として実現できずにいるが、この期間に遠隔での研究打ち合わせを行う体制を整えつつ基礎的研究を続けることで、今後、状況が改善することで対面での共同研究を行うことで大きな進展を目指したい。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度に引き続き、「一般的な基礎理論の整備」とその「主目的とする錐双曲構造特有の現象の理解」を並行して進めていく予定である。その際、今年度に着想に至った「双曲空間のクラインモデルにおける標準的多面体」を手がかりとすることで、無限体積双曲多様体の無限遠境界の精密な情報を得ることを目指す。ASWYの変形族に対する数値実験をさらに進めることにより、この新しい研究対象の基本的性質を明らかにしつつ、一点穴あきトーラス-クライン群に対し、EPH分割の持つ性質を手がかりとすることでその組み合わせ構造の記述を得たい。さらに、この多面体のディリクレ領域に対する類似物の考察も進める。この研究は作間氏と進めている放物的２元が生成するクライン群の外部空間の解析への応用も期待される。そのため、拡張された多面体の外部空間における挙動も詳細に観察する。
また、拡張されたRiley sliceとその境界から2橋絡み目錐多様体へとつながる錐双曲構造の変形族を詳細に調べていく予定である。予備的研究から続けている 研究協力者 山下靖氏との共同研究を進め、８の字結び目錐多様体などの具体例に対して、錐双曲構造の変形族を構成することを目指す。また、拡張されたRiley 切片上で山下氏により詳細に行われている数値実験を、標準的基本多面体族の観点から考察し、与えられた表現をホロノミーとして持つような錐双曲構造の具体的構成も行なっていきたい。
Tan氏、Baik氏、山下氏との共同研究で進めている2元生成自由群のPSL(2,C)表現の大域的性質に関し、与えられた表現をホロノミーとして持つ双曲構造の存在 について、その必要条件と十分条件の両方の観点から精密化していきたい。幾何的に表現される条件をより単純な代数的条件へと書き換えることが必要となる が、そのためには基本多面体の性質に関するより精密な観察が必要となる。
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| Causes of Carryover |
国際共同研究としてS. P. Tan氏(シンガポール国立大学)らと進めている共同研究推進のため、昨年度末にシンガポールのTan氏を訪問する予定だったが、現在まで続く新型コロ ナウィルスの影響によりいまだに実現できていない。今年度以降の可能な限り早い時期にTan 氏を訪れ研究推進の速度を増したい。
同様に、国内の複数の共同研究や研究打ち合わせ予定も新型コロナウィルス蔓延により延期せざるを得ない状況である。この状況の収束を待ち、今年度以降の可能な限り早い時期に対面での研究を進めていきたい。
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Research Products
(5 results)
