2023 Fiscal Year Annual Research Report
錐双曲多様体の標準的基本多面体族を用いた３次元幾何構造の研究
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19K03497
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| Research Institution | Osaka Metropolitan University |
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Principal Investigator |
秋吉 宏尚 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (80397611)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 双曲幾何 / 錐多様体 / 基本多面体 / 実射影構造 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究開始時の本研究課題の目的に沿った研究成果として，ある種の錐曲面束に対する標準的基本多面体族について，いくつかの具体例に対して標準的理想多面体族の組み合わせ構造を決定することに成功した．また，共同研究を通して，Agolによりアナウンスされていた2放物的生成クライン群の決定に詳細な証明をつけた．この方向の研究を通して現れる難点として，多くの無限体積双曲構造に対するフォード領域は無限遠境界を持つため，その組み合わせ構造を固定した際の幾何構造には大きな自由度があるという側面があり，それをいかにコントロールするかが問題となる．無限遠境界の理解のため，実射影空間の部分集合として実現される双曲空間のクラインモデルにおいてEPH分割の幾何学的双対を調べることで，無限体積双曲構造に対するフォード領域（ディリクレ領域）の自然な「コンパクト化」を得ることができるのではないかという着想に至り，凸核が内点を持つカスプ付き双曲多様体に対し，拡張されたフォード領域が真性凸集合であること，さらに，その領域がカスプに対応する正光的錐の点集合の閉凸包の頂点における接錐の双対であり，付随する実射影構造の展開写像の像がproperであることもわかった．拡張されたフォード領域はMinkowski空間内のある凸集合の双対集合から定められるが，ディリクレ領域についても同様の構成を行うことにより，拡張されたディリクレ領域を考えることができる．有限体積双曲多様体のディリクレ領域の組み合わせ構造は基点を任意に動かしても高々有限個しか現れないことがわかった．この結果の精密な解析のため，最終年度には正八角形から得られる種数2の閉双曲曲面上で起点を動かしたときに得られるディリクレ領域の組み合わせ構造を数値計算により全て決定した．その応用として，いくつかの曲面に対してこれまで不明だった直径の近似値を得ることができた．
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