2020 Fiscal Year Research-status Report
多面体による写像の特異点および多様体の幾何構造の研究
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19K03499
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
石川 昌治 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (10361784)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 特異点 / 多面体 / ３次元多様体 / ４次元多様体 / 接触構造 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
フロースパインとは３次元多様体内の非特異フローに対し，すべての軌道と横断的に交わる円板から構成されるスパインのことである．このスパインは３次元多様体のみならず，非特異フローの情報をもつことができる．本年度はフロースパインとフローの力学系の研究の準備として，アバロニとHopf束との関係についての研究を行い，Hopf束に対して横断的な位置にabaloneを置くことができないことを証明した．この議論はSeifert束に一般化することができ，(n,1)のSeifert束に対してabaloneを横断的に置くことができないこと，および，1/2<p/q<1を満たす任意の(p,q)について，(p,q)のSeifert束に対してabaloneを横断的に置くことができることを証明した．フロースパインの研究では，スパインを固定した上で，それに対応するフローのホモトピー類の研究を行うことが多いが，フローの研究という意味では，今回のように先にフローを固定して，対応するフロースパインの研究を行うことが望ましい。その意味で，対応するフロースパインの位置に繊細な制限が加わるという事実が得られたことは，新しい進展と言える．また，abaloneに対応するフローが閉軌道を持つかという問いについての研究を進めたが，想定していた議論が適用できず，より本質的な議論が必要となることが分かった．
関連する話題として，４次元多様体内の２次元曲面を，Turaevの導入したshadowにより表示する研究を進めた．これはA'Campoによるdivideや複素化された実直線配置の研究を含む枠組みで，shadowによる曲面の埋め込みの情報の記述を進めている．また，多項式写像の無限遠の特異点の研究では，特異ファイバー近傍での対のホモトピー群に着目し，研究を進めている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
前年度では，研究の目標の一つであったフロースパインと接触構造の対応について証明を与えることに成功しており，今年度はその先の研究として，フロースパインとフローの力学系との対応の研究を目標とした．前年度後半から開始したアバロニとHopf束およびSeifert束の横断性の研究では，Seifert束の係数に制限がつくものの，多くの場合について横断的な配置の存在および非存在を証明することができた．この結果は今後の研究の足掛かりとなるもので，十分な進展であり，研究は概ね順調に進んでいると考えてよい．また，４次元多様体内の２次元曲面のshadowによる研究は，A'Campoのdivideや複素化された実直線配置の研究に繋がる研究であり，そこに研究の取っ掛かりが見えたことは，今後の研究を進める上で大きな進展であったといえる．
その一方で，新型コロナウィルスの影響で研究打合せや研究集会への参加による情報収集を円滑に行うことができなかった．Shadowに関する研究では古宇田氏および直江氏と，多項式写像に関する研究ではT.T.Nguyen氏とそれぞれオンラインによりセミナーを行うなどして研究を進めた．また，オンライン開催の研究集会にも多く参加した．ただ，オンラインによる研究交流は，講演や説明以外から得られる情報が少なく，議論の焦点が定まっている課題に対しては有効であるが，その前段階の研究準備においては効果は薄く，今後の研究への影響が心配される．
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| Strategy for Future Research Activity |
４次元多様体内の２次元曲面のshadowによる表示の研究を中心に，A'Campoのdivideや複素化された実直線配置の研究を進める．先行研究として，直江氏との共同研究により，divideのshadowによる表示方法が知られている．この表示からdivideのファイバー曲面や消滅サイクルが作る円板の４次元多様体（この場合はミルナー球体）内での埋め込みの位置を，多面体およびその上のgleamを使って記述し，基本群や絡み数などの情報を引き出す．この研究はoriented divideのようなより一般の枠組みでも展開することができるので，他研究との関連を探りつつ，適宜一般化に着手する予定である．
フロースパインと接触構造の研究においては，フロースパインのフローの力学系の研究，特に周期軌道の研究を進める．ただし，今年度の研究で，abaloneに対応するフローの閉軌道の存在については想定していた議論が適用できず，より本質的な議論が必要となることが分かっている．具体例の研究を進めることで，研究の新しい切り口を見つける必要がある．
多項式写像の特異点の研究では，引き続き高次のホモトピー群に着目して研究を進める．問題の焦点となるのは，Serre fibration と判定されたものが，どのような条件で fibration になるかという問題と，多項式写像の無限遠の特異点で，ホモロジー群およびホモトピー群で判定できるものと判定できないものについて，それぞれ具体例を構成するという問題となる．より具体的に考察を進め，この問題のいずれかについて進展を得たいと考えている．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルスの影響で，今年度の研究集会への出張や研究打合せの予定がすべてキャンセルとなったため．延期となった研究集会や研究打合せは次年度に開催される予定であり，その際に研究費を用いる予定である．
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