2023 Fiscal Year Annual Research Report
多面体による写像の特異点および多様体の幾何構造の研究
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19K03499
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
石川 昌治 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (10361784)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 特異点 / 多面体 / ３次元多様体 / ４次元多様体 / 無限遠の特異点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度の研究では、前年度から継続して、多項式写像の無限遠の特異点を表すatypicalファイバーの研究を進めた。前年度までの研究で、ファイバー近傍での対のホモトピー群によるatyical fiberの特徴付けを与えた。今年度はより具体的な研究として、３変数多項式写像に着目し、無限遠の球面上の多項式写像の挙動によるatypical fiberの特徴付けについての研究を進めた。また、４次元球面上の円作用についての研究を行った。結び目理論や３次元多様体論における組み合わせ的な議論を高次元に拡張する上で、円作用をもつ２次元結び目の研究は重要な足掛かりとなると考えられる。この研究は３次元多様体や３次元軌道体の基本群と密接に関連しており、今年度は３次元多様体論における既知の結果を精査しながら、円作用をもつ２次元結び目の分類への応用についての研究を進めた。
研究期間全体として、フロースパインと接触構造の対応に関する研究、divideのshadow表示による補空間の基本群の具体的な表示、多項式写像の無限遠の特異点の特徴付け、円作用により不変な２次元結び目の研究を進め、それぞれにおいて結果を得た。フロースパインと接触構造の関係については、１対１対応を与える一般論の他、abaloneとHope fibrationが対応しないことなど、具体的な考察も進めた。Divideのshadow表示は複素化された実平面直線配置を含む研究対象であり、補空間の基本群をWirtinger表示のように計算することを可能とする。これらの結果は論文としてまとめ、専門誌より公開されている。今後の研究として、一般次元への拡張や高次元特異点の研究への応用を期待している。多項式写像の特異点に関する研究および円作用で不変な２次元結び目の研究については、これまでに得られた結果を論文としてまとめ、arXivより公開している。
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