2019 Fiscal Year Research-status Report
Research of hierarchy structures of spatial graphs and algebraic invariants
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19K03500
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| Research Institution | Tokyo Woman's Christian University |
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Principal Investigator |
新國 亮 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (00401878)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 空間グラフ / ハンドル体結び目 / Conway-Gordon の定理 / エッジ・ホモトピー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１．種数 $g$ のハンドル体結び目 $J$，$K$ に対し，$J$ のハンドル体結び目群から $K$ のハンドル体結び目群への全射準同型が存在するとき $J \ge K$ と定義すると，この関係はハンドル体結び目の同値類の集合における前順序を定める．小澤裕子氏，鈴木正明氏との共同研究により，特に種数2の交点数6以下の既約なハンドル体結び目について，(ねじれ) Alexander 不変量や，ハンドル体結び目群から有限群への全射準同型を駆使し，この前順序を許容しない多くの組を見出した．また，榎本理沙氏との共同研究により，種数2のハンドル体結び目で，その1変数 Alexander イデアルは自明だが2変数 Alexander イデアルが非自明であるものを無限に構成した．
２．森下央子氏との共同研究により，任意の正の整数 $m$ に対し，ある正の整数 $n$ が存在して，任意の空間 $n$ 頂点完全グラフは絡み数の絶対値が $m$ 以上の2成分 Hamilton 絡み目を含むこと，また，任意の正の整数 $m$ に対し，ある正の整数 $n$ が存在して，任意の線形空間 $n$ 頂点完全グラフは Conway 多項式の2次の係数が $m$ 以上の Hamilton 結び目を含むことを示した．
３．木全晴菜氏との共同研究により，3辺形の3辺を2重化したグラフ $D_3$ の空間埋め込みでアルファ不変量 m を持つもののエッジ・ホモトピー類の個数は，$m$ が3で割り切れないならただ1つで，$m$ が3で割り切れるなら高々3つであることを示した．系として，$D_3$ のアルファ不変量 $m$ を持つ2つの空間埋め込みは，$m$ が3で割り切れないならエッジ・ホモトピックであることを示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要の１については，当初の目標にかなり近いところまで解析が進んでおり，目標達成までかなり近い地点にある．２の成果は，既に論文としてまとめており，現在，学術雑誌に投稿中である．３の成果は空間グラフのエッジ・ホモトピー分類に関する基礎付けについての新たな知見を与えたものである．以上の通り，研究の進展はおおむね順調であるといってよい．
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| Strategy for Future Research Activity |
種数 $2$ の交点数6以下の既約なハンドル体結び目について，前順序を許容するかどうか未決定の組はかなり限られて来ている．それを決定すれば当初の研究計画は達成されるが，更に交点数 $7$ の場合も研究する．また，空間グラフ内の結び目/絡み目の振舞いに関し，それらの有限型不変量の意味で「高次」の不変量による縛りを調べ，特に線形空間グラフの結び目/絡み目内在性を解析する．新型コロナウイルス感染症(COVID-19)の世界的な感染拡大に伴い，海外の研究集会への参加や，国際共同研究打ち合わせを直接行なうことが困難となったが，オンラインによる方法を駆使して対応する．
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| Causes of Carryover |
設備備品費への支出を当初の予定より低く抑えられたこと，研究協力者分の出張費を当初の予定より低く抑えられたこと，当該年度後半の新型コロナウイルス感染症(COVID-19)の国内外の感染拡大に伴い，自らの研究出張を控えたことが理由である．社会情勢が許せば，次年度の国内外の研究出張のために使用するが，情勢が厳しい場合は，共同研究や学会参加のためのより良いオンライン環境の構築のために使用する．
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