2019 Fiscal Year Research-status Report
Geometric and algebraic aspects of Dehn surgery
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19K03502
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
茂手木 公彦 日本大学, 文理学部, 教授 (40219978)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | Dehn手術 / 結び目のツイスト族 / L-空間結び目 / タイトファイバード結び目 / 共役ねじれ元 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度までのKenneth Baker氏(University of Miami)との共同研究で、結び目のツイスト族がタイト接触構造をサポートする無限個のファイバー結び目を含むための必要十分条件、無限個のL-空間結び目を含むための必要条件、サテライトL-空間結び目のパターンがブレイドになっていること、およびサテライトL-空間結び目には本質的なConway球面が存在しないことが証明されていたが、これらの結果を1編の論文にまとめ国際誌に発表することができた。これで当初の目的の１つであった結び目のツイスト族とL-空間結び目の関係に関する研究は一段落した。Dehn 手術の代数的側面に関しては、 結び目の0-手術以外のDehn手術で得られた３次元多様体の基本群が共役ねじれ元をもつか、という問題の解決に向けた研究に取り組んだ。Dehn手術で得られた３次元多様体の基本群が共役ねじれ元をもつ場合、その共役ねじれ元がもとの結び目群の共役ねじれ元の像になっている場合とそうでない場合の２つの状況が考えられる。前者の場合、結び目群の共役ねじれ元がDehnフィリングで自明化されるか、という問題に帰着される。完全な解決は得られていないが、双曲結び目に対しては、一般に非自明な元を自明化するようなDehnフィリングが高々有限個であることを市原一裕氏（日本大学）と寺垣内氏との共同研究で明らかにし専門誌に発表した。
現在、この結果の一般化に向けた研究を伊藤哲也氏（京都大学）、寺垣内政一氏（広島大学）と継続中である。また、伊藤哲也氏、寺垣内政一氏との共同研究で３次元多様体の素分解、トーラス分解といった標準的分解と共役ねじれ元の関係を明らかにすることに成功し、国際誌に発表した。この結果を証明する過程で、群の自由積と共役ねじれ元に関する群論の未解決問題を解決することもできた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
結び目のツイスト族とその中に含まれるL-空間結び目の関係を明らかにすることは重要な課題であったが、この課題に関しては予想以上の成果をあげることができた。特に、結び目のツイスト族が正方向のねじり、負方向のねじりの両方で無限個のL-空間結び目を含めば、そのねじりの軸がブレイド軸になることまで明らかになったが、これは当初の目的以上の精密な結果である。また、結び目のツイスト族がタイト接触構造をサポートする無限個のファイバー結び目を含むための必要十分条件をあたえるなど、接触構造に関する結果も得られ研究の裾野を広げることもできた。
共役ねじれ元に関する研究では、３次元多様体の素分解、トーラス分解といった標準的な分解との関係を明確にし、興味深い例を構成することに成功し、一定の成果をあげることができた。一方、当初の目的である、結び目の0-手術以外のDehn手術で得られた３次元多様体の基本群が共役ねじれ元をもつか、という問題の解決には程遠いというのが現状である。Dehnフィリングと共役ねじれ元の関係に関する研究をさらに深化させる必要がある。
結び目群の共役ねじれ元がDehnフィリングで得られる３次元多様体の基本群の共役ねじれ元として生き残る場合は、非自明な元がDehnフィリングで自明化されるかという問題に帰着されるが、結び目がサテライト結び目のとき、群の融合積が登場して複雑になる。この克服が今後の課題である。結び目群の共役ねじれ元ではない元が、Dehnフィリングで得られる３次元多様体の基本群の共役ねじれ元になるときの状況は現在、伊藤哲也氏、寺垣内政一氏と共同研究を進めている。この研究は共役ねじれ元の幾何的意味を明らかにする上でも重要であると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
L-空間結び目に関する研究は一段落ついたので、代数的側面である結び目群とDehn フィリングで得られた３次元多様体の基本群の関係に重点を置いて研究を推進していく予定である。結び目群の共役ねじれ元がDehnフィリングで得られる３次元多様体の基本群の共役ねじれ元として生き残る場合は、非自明な元がDehnフィリングで自明化されるかという問題に帰着され、Dehnフィリングで自明化される元からなる正規部分群が重要な対象となる。この正規部分群はスロープ元の正規閉包として記述される。結び目の各スロープは１つの有理数に対応しており、スロープ元の正規閉包は結び目群のなかに有理数分だけ存在している。伊藤哲也氏、寺垣内政一氏との昨年度までの共同研究で、これらの正規部分群の間の関係はほぼ完全に解明されている。最も基本的な結果として、スロープが異なればそれらの正規閉包も異なること(周辺的Magnus性)が証明されている。ここで得られた知見をもとに、Dehnフィリングで自明化される元に対する理解をさらに深める必要がある。特に、共役ねじれ元が自明化される状況の解明が重要である。また、現在共役ねじれ元をもつ結び目群の例があまり知られていないので、このような例を構成する手段の開発も視野に入れた研究を進める。一方、結び目群の共役ねじれ元ではない元が、Dehnフィリングで得られる３次元多様体の基本群の共役ねじれ元になるときは、Dehnフィリングという幾何的な操作と共役ねじれ元が発生するという代数的な現象を結びつける研究は、現在進行中で今後も重要課題として取り組んでいく。この研究は共役ねじれ元の理解の鍵となることが期待される。
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| Causes of Carryover |
２０２０年２月のOberwofach数学研究所での国際会議への出席に伴う現地でのタクシー代を出張後精算で予定していたが、支出の必要がなくなった。また、本研究に関連した専門書などを購入する予定であったが納入時期が調整できず購入することができなかった。
このような理由により次年度使用が生じた。次年度の物品費予算に残額分をプラスして、研究推進のための図書費、消耗品の購入費として有効に使用する。
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