2020 Fiscal Year Research-status Report
Geometric and algebraic aspects of Dehn surgery
| Project/Area Number |
19K03502
|
|---|
| Research Institution | Nihon University |
|---|
Principal Investigator |
茂手木 公彦 日本大学, 文理学部, 教授 (40219978)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
|
| Keywords | Dehn手術 / 共役ねじれ元 / 両側不変順序 / スロープ予想 / ストロングスロープ予想 / 本質的曲面 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
3次元多様体の基本群Gが両側不変順序をもつこととGが共役ねじれ元をもたないことが同値であるという予想を寺垣内政一氏（広島大学）と提案している。特に、0-手術以外のDehn手術で得られた3次元多様体は、有理ホモロジー球面で両側不変順序をもたないので、共役ねじれ元をもっていることが予想される。結び目Kの結び目群からKのDehn手術で得られた3次元多様体の基本群には自然な全射準同型が存在する。Dehn手術で得られた３次元多様体の基本群が共役ねじれ元をもつ場合、その共役ねじれ元がもとの結び目群の共役ねじれ元の像になっている場合と、そうでない場合の2つの状況が考えられる。昨年度は、後者の場合について詳しく調べた。結び目Kがある(p, 0)特異円板とよばれる自己交叉をもつ円板を張っているとき、m/nがp以上であればm/n-手術で得られた多様体の基本群においてKのメリディアンの像が共役ねじれ元になることを、伊藤哲也氏（京都大学）、寺垣内政一氏との共同研究で証明した。応用として、多くのモンテシノス結び目やpositive結び目、almost positive結び目の無限個のDehn手術で得られた3次元多様体の基本群に共役ねじれ元が存在することが明らかになった。
また、Dehn手術の研究で培われた技術を利用して、色付きジョーンズ多項式の最高次数が結び目外部空間の本質的曲面のトポロジーに関する情報をもっている、というスロープ予想（Garoufalidis）とストロングスロープ予想（Kalfagianni-Tran）に取り組んだ。Kenneth L. Baker氏（University of Miami）、高田敏恵氏（九州大学）との共同研究で、結び目Kがこれらの予想をみたせば、Kにホワイトヘッドダブルという操作を施して得られる結び目もこれらの予想をみたすことを証明した。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の主要な課題の1つであった、結び目のツイスト族とその中に含まれるL-空間結び目の関係の解明は、２０１９年度の研究でほぼ完全に解決することができた。特に、正の方向のねじり、負の方向のねじりの両方で無限個のL-空間結び目を含めば、そのねじりの軸がブレイド軸になることまで明らかになった。これは当初の目的以上の精密な結果である。また、結び目のツイスト族がタイト接触構造をサポートする無限個のファイバー結び目を含むための必要十分条件を与えるなど、接触構造に関する結果も得られた。
Dehn手術の代数的側面として、Dehn手術で得られた3次元多様体の基本群が共役ねじれ元をもつことの証明に取り組んでいる。昨年度の伊藤哲也氏、寺垣内政一氏との共同研究で結び目群の共役ねじれ元に由来しない共役ねじれ元の発生の仕組みの1つが明らかになった。一方、当初の目的である、結び目の0-手術以外のDehn手術で得られたすべての３次元多様体の基本群が共役ねじれ元をもつか、という問題の解決には至っていない。Dehnフィリングと共役ねじれ元の関係を、より幾何的な視点で捉える研究をさらに深化させる必要がある。結び目群が共役ねじれ元をもっているとき，その元がDehnフィリングで得られる３次元多様体の基本群の共役ねじれ元になるかどうかは、非自明な元がDehnフィリングで自明化されるかという問題に帰着される。しかし、すべての結び目群が共役ねじれ元をもつわけではない。そもそも、どのような結び目群が共役ねじれ元をもっているのかよくわかっていないのが現状である。結び目群の両側不変順序の存在性とも関連付けながら共役ねじれ元についても現在研究を進めている。
|
| Strategy for Future Research Activity |
L-空間結び目に関する研究は一段落ついたので、今後は、代数的側面である結び目群とDehn フィリングで得られた３次元多様体の基本群の関係に重点を置いて研究を推進していく予定である。もとの結び目群が共役ねじれ元 gをもち、それがDehnフィリングで得られた３次元多様体の基本群に非自明な元として生き残る場合は、gが共役ねじれ元になることが容易にわかる。したがって、非自明な元がDehnフィリングで自明化されるかという問題に帰着される。この視点で研究を進めるにあたって、結び目群の共役ねじれ元の例がよくわかっていない点も課題である。そこで今後は結び目群の共役ねじれ元についてさらに調べ、豊富な例を見出していきたい。同時に、そのための有効な手段の開発を目指す。また、結び目が双曲結び目であれば有限個のDehnフィリングを除き、gの像は非自明になるが、すべての非自明なDehnフィリングのもとでgが生き残るかについてはわかっていない。この問題はDehnフィリングで自明化される元からなる正規部分群の研究に帰着され、この正規部分群はスロープ元の正規閉包として記述される。結び目の各スロープは１つの有理数に対応しており、スロープ元の正規閉包は結び目群のなかに有理数分だけ存在している。スロープ元の正規閉包の間の関係は、伊藤哲也氏、寺垣内政一氏と共同研究を進めている。スロープ元の正規閉包全体の構造の解明はDehnフィリングという幾何的操作を代数的操作として捉える際に鍵となるもので、これ自体（共役ねじれ元の問題とは無関係に）重要な課題である。
また、本研究の当初の計画にはなかったスロープ予想、ストロングスロープ予想に関する研究もDehnフィリングで得られた知見を活かせる研究なので、今後も推進していきたいと考えている。
|
| Causes of Carryover |
２０２０年度はコロナ禍の影響で国内、海外の研究集会はすべてオンラインでの開催となり、旅費を一切使用することができなかった。このような理由により多額の次年度使用が生じてしまった。２０２１年７月にアルゼンチン（ブエノスアイレス）で開催予定のMathematical Congress of the Americas（MCA2021）に招待されていたが、こちらもすでにオンライン開催に決まっている。今後も旅費として支出することが困難な状況が続くものと思われる。次年度の物品費予算等に残額分をプラスして、研究推進のためのコンピュータ環境の整備、特にオンライン開催での研究集会に備えた環境を充実させたい。また図書費、消耗品の購入費として有効に使用する。
|
