2021 Fiscal Year Research-status Report
Geometric and algebraic aspects of Dehn surgery
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19K03502
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
茂手木 公彦 日本大学, 文理学部, 教授 (40219978)
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2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | Dehn手術 / 結び目群 / 共役ねじれ元 / 両側不変順序 / スロープ予想 / ストロングスロープ予想 / 本質的曲面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
共役ねじれ元の存在は両側不変順序を許容するための障害になることが容易にわかる。また、一般には両側不変順序を許容せず、共役ねじれ元ももたない群も存在する。寺垣内政一氏（広島大学）との共同研究で3次元多様体の基本群Gが両側不変順序をもたないこととGが共役ねじれ元をもつことが同値であるという予想を提案し、ザイフェルト多様体に対して予想が正しいことを証明した。一方、双曲多様体に対してはあまり多くのことが知られていない。本研究では、結び目の外部空間の基本群（結び目群）の共役ねじれ元について研究を進めた。ほとんどの結び目群は、共役ねじれ元の存在も両側不変順序の存在もわかっていない。そこで垣内政一氏と共役ねじれ元をもつ結び目の構成に着手した。共役ねじれ元をもつ結び目を連結和の因子にもつ結び目や共役ねじれ元をもつ結び目のサテライトは共役ねじれ元をもつことは容易にわかる。本研究では結び目のねじり操作と共役ねじれ元の関係について詳しく考察し、種数がいくらでも大きな双曲結び目で、その結び目群が共役ねじれ元をもつものを構成することができた。これまで共役ねじれ元をもつ双曲結び目の例は、種数が1のものしか知られていなかった。
また、結び目外部空間の本質的曲面はDehn手術の幾何的な側面で重要な役割を担っているが、近年色付きジョーンズ多項式の最高次数が結び目外部空間の本質的曲面のトポロジーに関する情報をもっている、というスロープ予想（Garoufalidis）とストロングスロープ予想（Kalfagianni-Tran）が盛んに研究されている。本研究ではKenneth L. Baker氏（University of Miami）と２０２０年に亡くなられた高田敏恵氏（九州大学）との共同研究を継続し、スロープ予想、ストロングスロープ予想の肯定的な解決と反例の構成を見据えた研究を進めた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Dehn手術の代数的側面の研究として、Dehn手術で得られた3次元多様体の基本群が共役ねじれ元をもつことの証明に取り組んでいる。一昨年度の伊藤哲也氏、寺垣内政一氏との共同研究で結び目群の共役ねじれ元に由来しない共役ねじれ元の発生の仕組みの1つが明らかになった。一方、当初の目的である、結び目の0-手術以外のDehn手術で得られたすべての３次元多様体の基本群が共役ねじれ元をもつか、という問題の解決には至っていない。本年度は視点を変えて結び目群の共役ねじれ元について研究を進めた。これまで種数１の双曲結び目で共役ねじれ元をもつものの存在は知られていたが、本研究により種数がいくらでも大きな双曲結び目で、共役ねじれ元をもつものを構成することができたのは大きな成果であった。結び目群が共役ねじれ元をもっているとき，その元がDehnフィリングで得られる３次元多様体の基本群の共役ねじれ元になるかどうかは、共役ねじれ元がDehnフィリングで自明化されるかという問題に帰着される。現在、すべての非自明なDehnフィリングで自明化されないような元についての研究を伊藤哲也氏、寺垣内政一氏と共に進めている。この問題はスロープ元の正規閉包の和集合が結び目群の中でどれくらい大きいかという問題と等価で、これ自身独立した重要な問題である。この問題に関する研究は現在進行中で、いくつかの部分的な結果が得られており、今後の進展が期待される。
また、結び目外部空間の本質的曲面と色付きジョーンズ多項式の関係に関するスロープ予想、ストロングスロープ予想に関する研究も進めた。コンパニオン結び目に自然な仮定を課すことで、そのMazurパターンのサテライト結び目もストロングスロープ予想を満たすことを証明した。一方、色付きジョーンズ多項式に特殊な状況が生じれば、この予想に反例が見つかる可能性を示唆した。
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| Strategy for Future Research Activity |
3次元球面内の結び目のDehn手術で得られた３次元多様体の基本群は両側不変順序をもたないので、共役ねじれ元をもつことが期待される。伊藤哲也氏、寺垣内政一氏との共同研究で得られた、共役ねじれ元と特異円板との関係を再度検討し、より一般的な結び目に対して共役ねじれ元の同様な構成が可能か検討したい。いったん、3次元球面内の結び目の外部空間という制約をなくした一般的な状況下で共役ねじれ元と特異円板との関係を考えてみたい。また、結び目群の共役ねじれ元がDehnフィリングによって自明化されないか、という問題から派生した、非自明な元がDehnフィリングで自明化されるかという問題について研究を進めていく予定である。この問題はDehnフィリングで自明化される元からなる正規部分群の研究に帰着される。このような正規部分群はスロープ元の正規閉包として記述される。結び目の各スロープは１つの有理数に対応しており、スロープ元の正規閉包は結び目群のなかに有理数分だけ存在している。これまでの研究（伊藤哲也氏、寺垣内政一氏との共同研究）でこれらの正規部分群の交わりについてはほぼ完全に解明されているが、和集合については未知な部分が多く残されている。和集合に属さない元はすべての非自明なDehnフィリングで自明化されない、Dehnフィリングに対して耐性の強い元で、Dehnフィリングの代数的研究で重要な対象である。今後、このような元の構成法や特徴付けを目指した研究を進展させる。
また、本研究の当初の計画にはなかったスロープ予想、ストロングスロープ予想に関する研究もDehnフィリングの研究で得られた知見を活かせる研究なので、今後も推進していきたいと考えている。スロープ予想、ストロングスロープ予想で重要な役割を持つ色付きJones多項式から出てくるJones直径を利用した結び目交差数の研究も進めていきたいと考えている。
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| Causes of Carryover |
２０２１年度もコロナ禍の影響で２０２１年７月にアルゼンチン（ブエノスアイレス）で開催予定であったMathematical Congress of the Americas（MCA2021）での講演をはじめ、その他の国内の研究集会での講演もすべてオンラインで行った。
そのため国内、海外の研究集会への参加のための旅費を一切使用することができなかった。このような理由により多額の次年度使用が生じてしまった。今後は、徐々に対面を取り入れた研究集会も開催されることが期待されるので、次年度の旅費にあてて有効に利用したい。
研究推進のためのコンピュータ環境の整備、特にオンライン開催での研究集会に備えた環境を充実させたい。また図書費、消耗品の購入費として有効に使用する。
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