2023 Fiscal Year Annual Research Report
Geometric and algebraic aspects of Dehn surgery
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19K03502
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
茂手木 公彦 日本大学, 文理学部, 教授 (40219978)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
新國 亮 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (00401878)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | Dehn手術 / Dehnフィリング / 基本群 / 共役ねじれ元 / Property P / 結び目解消数 / ねじり操作 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度の研究で位数２の共役ねじれ元をもつような結び目群を完全に決定したが、この結果を一般の３次元多様体の基本群に拡張した。この結果は専門誌に投稿中である。Dehn手術の代数的な側面からの研究として、Property Pを出発点にDehnフィリングと結び目群の関係に関する研究を進めた。Property P予想は非自明な結び目の非自明なDehn手術で単連結な3次元多様体は生じないことを主張するもので、ポアンカレ予想とも深い関係をもっており、KronheimerとMrowkaによって解決されるまで当該分野を牽引する重要な役割を担っていた。Property P予想を結び目群での文脈で捉え直すことでさまざまな言い換えが可能である。双曲結び目群の元に対して、その元を自明化するDehnフィリングは高々有限個であることがこれまでの研究で明らかになっている。結び目群の与えられた元を自明化するDehnフィリングを全て決定することはほぼ不可能である。一方、Property Pはメリディアンを自明化するDehnフィリングは自明なものに限ることを主張している。そこで本研究では、メリディアンのように自明なDehnフィリングでしか自明化されない元に着目して、そのような元が共役の差を無視して無限個存在することを証明した。この結果はメキシコでの国際研究集会を初め複数の研究集会で発表し、論文を現在準備中である。また、４次元結び目種数のねじり操作の元での振る舞いに関するBaker氏との共同研究の結果を応用して、結び目解消数のねじり操作の元での振る舞いについて研究を進めた。Dehnフィリングのアイディアを活かして結び目解消数のねじり操作の元での漸近挙動を完全に決定することができた。この結果については、国際研究集会で発表し、論文を投稿中である。
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