2019 Fiscal Year Research-status Report
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19K03503
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
野原 雄一 明治大学, 理工学部, 専任准教授 (60447125)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 完全可積分系 / ミラー対称性 / クラスター代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
複素Grassmann多様体上の完全可積分系に対するFloer理論と、そのミラー対称性との関係について研究している。Grassmann多様体のミラーは、双対Grassmann多様体のある開集合と、その上の正則関数の組となる。このミラーは、クラスター変数とよばれる変数を座標にもつ代数トーラス（クラスター座標近傍）たちを、変異とよばれる座標変換で貼り合わせることでできるクラスター多様体の例である。Grassmann多様体の場合はPlucker座標がクラスター変数の一部であり、それらの間の変異はPlucker関係式に他ならない。
2次元部分空間全体のなす平面Grassmann多様体の場合には、完全可積分系を組織的に構成することができる。これまでの研究で、それらに対するFloer理論がミラー側のクラスター座標近傍に対応すること、そしてFloer理論における壁越え公式がミラー側の変異に一致することが示されている。また、6次元ベクトル空間内の3次元部分空間全体のなすGrassmann多様体 Gr(3,6) の場合にも、Gelfand-Cetlin系と呼ばれる完全可積分系に対するFloer理論の壁越え公式からミラー側のクラスター変数の変異が得られることも分かっている。ここにはPlucker座標以外のクラスター変数が現れる壁越え現象も含まれる。
今年度は、一般のGrassmann多様体 Gr(k,n) に対して、Gelfand-Cetlin系に対する壁越え公式とクラスター変数の変異の関係を明らかにした。Gelfand-Cetlin系に対応するミラー側のクラスター座標近傍に対しては、Plucker座標以外のクラスター変数が現れる変異が多数あるが、それらも含めてここに現れる全ての変異がGelfand-Cetlin系に対する壁越え公式から得られることが分かった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当該年度に行った研究は当初予定していた研究内容とは異なるため、得られた結果も予定とは異なるが、これは本研究の最終的な目標にとって重要な結果であり、全体としては順調に進展しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究課題の根本的な問題のひとつは、一般の旗多様体上に完全可積分系を組織的に構成する方法が分かっていないことである。旗多様体上のGelfand-Cetlin系とクラスター多様体の構造から定まる正則Poisson構造の関係がその解決の手がかりとなると考えられるため、当初は（完全可積分系の構成方法が最もよく分かっている）平面Grassmann多様体の場合を最初に詳しく調べる計画であったが、2019年度の研究では、一般のGrassmann多様体上のGelfand-Cetlin系の変異に対する理解が先に進展することとなった。今後は、この結果を踏まえた上で、当初計画していた平面Grassmann多様体の完全可積分系とクラスター多様体構造の関係について研究を進める。
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| Causes of Carryover |
大学内の業務等で当初の予定よりも出張ができなかった。さらに、新型コロナウイルス感染症の広がりにより中止や延期となった研究集会も多くあったため、2019年度の使用額が予定より大幅に少なくなった。
2019年度に使用する予定であった研究費は、研究集会を開催できる状況になったときに、延期となっている研究集会への参加や、研究集会の企画に使用したいと考えている。
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