2020 Fiscal Year Research-status Report
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19K03503
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
野原 雄一 明治大学, 理工学部, 専任准教授 (60447125)
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2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 完全可積分系 / クラスター代数 / ミラー対称性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
n次元複素ベクトル空間内のd次元部分空間全体のなすGrassmann多様体を Gr(d,n) としたとき、そのミラーは、双対Grassmann多様体 Gr(n-d,n) のある開集合（反標準因子の補集合）とその上の正則関数の組となる。このミラー多様体は、クラスター変数と呼ばれる変数を座標にもつ代数トーラス（クラスター座標近傍）たちを貼り合わせて得られる、クラスター多様体の基本的な例である。2019年度までの研究で、d=2 の場合と一般の Gr(d,n) 上の特別な完全可積分系（Gelfand-Cetlin系）の場合に、Floer理論（Lagrange部分多様体の量子補正付き交差理論）からミラー多様体上のクラスター座標近傍が得られることが示されている。さらに、クラスター変数の間の座標変換（クラスター変換）が Gr(d,n) 上のFloer理論における壁越え公式として得られることも分かっている。2020年度はこの証明を整理し直し、「部分トーリック退化」を用いる方法と、退化を用いずに直接Grassmann多様体上で壁越えを記述する方法の二通りの証明にまとめた。後者の方法は適用できる範囲が限られるが、Lagrange部分多様体の交差が具体的に見えることはメリットであるといえる。一方、クラスター多様体のトーリック退化は一般的な状況でよく調べられているため、前者の方法はより幅広いクラスの多様体に対して適用が可能である。これにより、より一般の旗多様体上の完全可積分系に対する壁越え公式とミラー側のクラスター変換の関係を調べることができるようになると考えられる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要の欄で述べた完全可積分系の壁越えに関する結果は本研究の目的として挙げた2つの項目には含まれていないが、それらの目的と直接関わるものである。また、本研究の目的の一つである、完全可積分系と特殊線形群の既約表現の“標準基底”との関係についても理解が進みつつあるため、全体としては概ね順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
2020年度の研究で、3次元旗多様体の場合に完全可積分系のFloer理論と既約表現の“標準基底”の関係の理解が徐々に進んでいるため、2021年度はこれをさらに推し進める。4次元Grassmann多様体 Gr(2,4) の場合も状況は3次元旗多様体のときとよく似ているため、可能であれば Gr(2,4) の場合の考察も行う。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの蔓延により研究集会が全てオンラインでの開催となり、旅費を使うことが全くなくなったため、予定していた使用額を大幅に下回ることとなった。今後状況が改善すれば、再び対面での研究集会が行われることになると予想されるので、未使用の研究費はその旅費や招聘に充てたいと考えている。
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