2021 Fiscal Year Research-status Report
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19K03503
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
野原 雄一 明治大学, 理工学部, 専任准教授 (60447125)
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2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 完全可積分系 / クラスター代数 / ミラー対称性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
A型（特殊線形群）の旗多様体のミラー対称性、特に旗多様体のLagrange部分多様体に対するFloer理論（量子補正付き交差理論）と、ミラー側に現れる表現論との関係について研究している。Strominger-Yau-Zaslowによるミラー対称性の描像によれば、旗多様体上のLagrangeトーラスファイブレーション（完全可積分系）のLagrange切断のFloerホモロジーは、ミラー側の旗多様体上のある正則直線束のコホモロジー、すなわち特殊線形群の既約表現と同型になると予想される。Lagrange切断のFloerホモロジーには自然な基底が存在するため、ミラー側の既約表現の“標準基底”（Lustig, Berenstein-Zelevinskyらによる）との関係を調べることは自然な問題だといえる。まずはこれを、（非自明な場合のうちで最も次元の低い）3次元旗多様体の場合に考察している。これまでに、（この問題の目的に適した形の）旗多様体のLagrangeトーラスファイブレーションとそのLagrange切断を具体的に構成するとともに、対応するべき既約表現の標準基底を本問題の枠組みに合わせて整理した。また、このLagrange切断に対するFloer理論に関連すると思われる理論や研究結果について学び、研究に必要となる情報を得ることもできた。これにより、Floerホモロジーと既約表現の標準基底の関係についてさらに研究を推し進めることができる状態になったといえる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
旗多様体上のLagrangeトーラスファイブレーションとそのLagrange切断の構成や、ミラー側の標準基底の組み合わせ論的記述の仕方にはそれぞれ調整するべき点がいくつかあり、それらの整理に当初の予想よりも時間がかかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究で旗多様体上のLagrangeトーラスファイブレーションとそのLagrange切断やミラー側の標準基底ついてかなり整理ができたため、2022年度も引き続きFloerホモロジーと標準基底の関係について研究を推し進める。可能であれば、3次元旗多様体の場合の他に、4次元Grassmann多様体（4次元ベクトル空間内の2次元部分空間全体のなす多様体）の場合も考察する。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍で対面の研究集会がほとんど開催されず、旅費を全く使用しなかったため。
最近は行動制限が少しずつ緩和され始め、2022年度以降はこれまで延期されてきた研究集会も開催されることが期待されるため、未使用だった旅費をそれらに参加するための費用等に充てる予定である。
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