3次元多様体の基本群の指標多様体と位相的構造との関連について

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03505
• Research Institution: Soka University
• Principal Investigator: 北野 晃朗 創価大学, 理工学部, 教授 (90272658)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 結び目 / 結び目群 / 線型表現 / SL(2;C) / 指標 / 指標多様体

Outline of Annual Research Achievements

3次元多様体として3次元球面内の結び目の補空間を考える. この結び目の補空間の基本群(閉じたループ全体のホモトピー類が成す群)は結び目群と呼ばれる. 結び目群は素な結び目に関しては完全な不変量であり, 素でない場合においても非常に強力な不変量である.
結び目群から幾何学的な情報を取り出すために, 結び目群から線型リー群への表現を考える. 本研究では一番単純な群として, 2行2列で行列式が1である複素行列全体のなす群, SL(2;C)への表現を考え, その指標, すなわち結び目群の要素に表現により定まる行列の指標, traceを対応させる結び目群上の関数を考える. その指標全体はその結び目群の指標多様体と呼ばれる.
本研究では, 指標多様体が同型であるときに, 結び目の位相型は決定できるか?という問題に関して研究を続けている. 2つの指標多様体を比較するために, 結び目の補空間, あるいは結び目群の間に写像が必要であり, そのために本研究では次のように問題を設定している：
2つの結び目群の間に全射準同型写像が存在し, それが誘導する指標多様体上の写像が同型であるとき, 2つの結び目が同型か？
この問題を写像の値域の結び目が双曲的な場合に研究を行なってきた. この場合に, 定義域の結び目が双曲的な場合には, 上の問題は肯定的であり, トーラス結び目の場合は仮定を満たすような状況は起こらないことが示される. 残っている定義域の結び目がサテライト結び目の場合に関して, さらにいくつか条件をつけた場合に関する結果を得ている. それらの条件を緩めるなどの改良についての研究を行った.

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

コロナウイルスによる感染症拡大による影響で, 海外の連携研究者との連携がスムースに行えず, 研究の進捗に遅れが生じた.

Strategy for Future Research Activity

いくつかのオンラインツールを活用を検討し, 研究打ち合わせをより活発に行う. また感染症の状況が落ち着いてくれば, 年度後半を目安に, 日程を調整し, どちらかが訪問をして, 対面での研究打ち合わせを行うことを検討する,

Causes of Carryover

海外から研究者を招聘する予定, 国内での研究集会の予定が, コロナウイルスによる感染症拡大の影響により, 全て中止, または延期になったために次年度使用額が生じた.
コロナウイルスの感染がある程度収束し, 招聘が可能であるならば, 海外から連携研究者を招聘する. 一方で, 研究計画を見直し, 数値的に計算を行うための環境整備を整えることを使用計画に加える.