2022 Fiscal Year Research-status Report
Pin(2)-monopole equations and 4-dimensional topology
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19K03506
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| Research Institution | Fukushima Medical University |
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Principal Investigator |
中村 信裕 福島県立医科大学, 公私立大学の部局等, 教授 (10512171)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | ゲージ理論 / 4次元トポロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度はまず，加藤毅氏，岸本大佑氏，安井弘一氏との共著論文(math.arXiv:2111.15201)の大規模な改訂作業を行った．今回の改訂の過程で，主結果は精密化され，より深くより適用範囲の広いものに拡張された．この研究は Seiberg-Witten 理論における simple type 予想に関わるものである．simple type 予想はSeiberg-Witten不変量が0でなければモジュライ空間の仮想次元は0であるという予想である．この研究において，緩やかな位相的な条件の下で，Seiberg-Witten 不変量の divisibility からモジュライ空間の仮想次元の上限が得られるという結果が得られていたが，今回の改訂で次の拡張が得られた． Seiberg-Witten不変量が素数 p の r 乗で割り切れなければモジュライ空間の仮想次元は 2r(p-2)-2 以下である．証明はSeiberg-Witten不変量の安定コホモトピー群への持ち上げであるBauer-Furuta不変量を用い，ホモトピー論的考察によってなされるが，今回の改訂版では戸田ブラケットを用いた精緻なホモトピー群の計算を利用するなど，高度なホモトピー論をゲージ理論に応用できた点は意義深い．またこの研究結果に関する講演を，国際研究集会 Gauge Theory in Kyoto (京都大学, 3/22-24)にて行った．
Seiberg-Witten不変量とDonaldson不変量が等価であるという Witten予想に関連して，Pin(2)モノポール不変量に対する Witten 予想は何か，特にPin(2)モノポールに対応するインスタントン理論は何かについての考察を行った．
また今野北斗氏と行ったPin(2)モノポール方程式の４次元多様体の族のトポロジーへの応用の論文(math arXiv:2003.12517)Algebraic & Geometric Topology に掲載された．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Bauer-Furuta理論へのホモトピー論の応用についての研究，族のゲージ理論とその応用に関する研究の進展状況が良好と言える一方Pin(2)モノポール方程式関連の研究がまだ基礎的なレベルにとどまり，目に見える結果がそれほど得られていないが，総じて順調な進展といえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
Buaer-Furuta理論と族のゲージ理論についてはさらなる進展が見込めるのでこれらについてしっかり取り組んでいくと同時に，これらの領域で得られた成果をPin(2)モノポール理論へ還元していく取り組みを本格化させたい．
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| Causes of Carryover |
コロナ禍が継続中のため引き続き対面での研究集会が少なかったので，多くの場合旅費が必要でなかった．次年度は対面での研究集会が増える見込みであるためにこのような集会に参加する費用に当てたい．
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