2019 Fiscal Year Research-status Report
ブレイドシステムのHurwitz同値不変量の列の構成と曲面ブレイドへの応用
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19K03508
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| Research Institution | Gunma National College of Technology |
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Principal Investigator |
矢口 義朗 群馬工業高等専門学校, 一般教科(自然), 准教授 (90613018)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | ブレイド群 / Hurwitz作用 / 曲面ブレイド |
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| Outline of Annual Research Achievements |
任意の群の直積には，ブレイド群によるHurwitz作用が定義される。ブレイド群の直積をHurwitz作用で軌道分解することで，ブレイドの２次元版である曲面ブレイドを完全に分類できることが知られている。しかし，ブレイド群は複雑であるため，ブレイド群の直積における軌道分解は非常に難しく未解決である。本研究は，ブレイド群からのJohnson写像や対称群を用いて，ブレイド群の直積のHurwitz同値不変量を構成し，曲面ブレイドの未知の性質を発見することを目的としている。本年度の進捗状況は，
１．ブレイド群からの第１Jhonson写像への幾何的な意味付け（ホモロジカルな意味付け）に関する論文の執筆に時間を割くことができた。今年度中には投稿できる見込みである。この研究は津田塾大学の久野雄介氏との共同研究である。
２．３次の対称群の直積におけるHurwitz軌道分解についての研究成果を論文として書き上げることができ，海外の雑誌に投稿した。（現在査読の段階である。）また，４次の対称群の直積の部分集合で，長さ４の巡回置換のみを並べてできる組の集合をHurwitz作用で軌道分解することに成功した。この成果を，2020年１月に岡山大学で開催されたHurwitz作用の研究集会で発表した。
３．群馬工業高等専門学校の碓氷久氏と諸岡勇希氏との共同研究により，ブレイド群の複雑さを生かして，ブレイド群の直積におけるHurwitz作用と同時共役による鍵共有を考案した。（Ki Hyoung Ko, Sang Jin Lee, Jung Hee Cheon, Jae Woo Han, Ju-sung Kang, Choonsik Parkによるブレイド群の共役を利用した鍵共有との相違点もある。）この内容を2019年６月に金沢大学で開催された暗号理論に関する勉強会で始めて発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ブレイド群からの第１Jhonson写像への幾何的な意味付けに関する論文の執筆が進んだこと，３次の対称群の直積におけるHurwitz軌道分解についての研究成果を雑誌に投稿できたこと，４次の対称群の直積においても長さ４の巡回置換のみからなる組全体においてはHurwitz軌道分解に成功したこと，および暗号への応用（ブレイド群の直積におけるHurwitz作用と同時共役を利用した鍵共有）も考察できたことから，「(2)おおむね順調に進展している」と評価する。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究の目標は，ブレイド群からのJohnson写像や対称群を用いて，ブレイド群の直積のHurwitz同値不変量を構成し，曲面ブレイドの未知の性質を発見することである。そこで今年度は昨年度に得られた成果を踏まえて，以下のことに取り組む予定である：
１．ブレイドシステムの集合の第１Jhonson写像による像をHurwitz同値で完全に分類することを目標とする。
２．ブレイド群からの第１Jhonson写像では，ブレイドの穴あき付き円盤の写像類群の元としてのホモロジカルな意味を与えることができた。次は，ブレイド群からの第２Jhonson写像がブレイドのどうのような幾何的な意味を引き出すのかについて研究を行う予定である。
３．対称群の直積におけるHurwitz軌道分解の研究を進めていきたい。特に次の段階は，４次の対称群の長さ３の巡回置換のみを並べた集合においてHurwitz軌道分解を推進していく予定である。
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