2022 Fiscal Year Research-status Report
ブレイドシステムのHurwitz同値不変量の列の構成と曲面ブレイドへの応用
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19K03508
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| Research Institution | Maebashi Institute of Technology |
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Principal Investigator |
矢口 義朗 前橋工科大学, 工学部, 准教授 (90613018)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | ブレイド群 / 対称群 / Hurwitz作用 / 単純ブレイド / 単純曲線 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
カンドルの直積には，ブレイド群によるHurwitz作用が定義される。ブレイド群の直積をHurwitz作用で軌道分解することで，曲面ブレイドを完全に分類できることが知られているが，ブレイド群の直積における軌道分解は難しく未解決である。本研究は，ブレイド群の直積のHurwitz同値不変量を構成し，曲面ブレイドの未知の性質を発見することを目的としている。また，単純曲面ブレイドの1つの分岐点の周りのモノドロミーは，穴あき円盤内のコード（連結な単純曲線）と同一視できるため，単純曲線そのものの研究も必要不可欠となる。
【前提1】研究代表者は，4次対称群の直積の部分集合で『長さ4』の巡回置換のみを並べてできる組の集合における軌道分解を2019年度に，『長さ3』の巡回置換のみを並べてできる組の集合における軌道分解を2020年度に遂行できている。
【2022年度の成果1】上の結果の拡張として，「群（共役カンドル）Gの2つの部分カンドルS，Tについて，Sの任意の元がTのk個の元の積として（Hurwitz同値の意味で）一意的に分解できるとき，Sのn個の直積のHurwitz同値類の集合からTのkn個の直積のHurwitz同値類の集合への自然な全射が存在する」ことを示せた。この結果の曲面ブレイド以外への応用も見込まれる。
【前提2】単純曲線を組み合わせ的に扱う場合，その連結成分を組み合わせ情報から求めることは「置換」のサイクル数を求めることに他ならない。2021年度は群馬大学の山本亮介氏と共同で，置換のサイクル数を代数的な仕組みにより求めるアルゴリズムを作成した。
【2022年度の成果2】山本氏と2021年度に作成した置換のサイクル数を求めるアルゴリズムについて，山本氏と共同で論文にまとめるために打合せを重ねた。また，その連結成分数を組み合わせ情報のみを用いて表せるような単純曲線の族を見つけることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は，「群（共役カンドル）Gの2つの部分カンドルS，Tについて，Sの任意の元がTのk個の元の積として（Hurwitz同値の意味で）一意的に分解できるとき，Sのn個の直積のHurwitz同値類の集合からTのkn個の直積のHurwitz同値類の集合への自然な全射が存在する」ことに気が付いた。（これは，前年度発見したn=2のときの性質の一般化である。）
一方，群馬大学の山本亮介氏と共同で開発した「単純曲線の成分数を求める線形代数的なアルゴリズム」に関する論文執筆も大きく進めることができた。論文を執筆する過程で「連結成分数をある軸との幾何的交点数を組み合わせ情報のみを用いて表せるような単純曲線の族」を見つけることができた。
したがって，本年度については「(2)おおむね順調に進展している」と評価する。
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| Strategy for Future Research Activity |
【Hurwitz作用についての研究】
本年度発見した性質「群（共役カンドル）Gの2つの部分カンドルS，Tについて，Sの任意の元がTのk個の元の積として（Hurwitz同値の意味で）一意的に分解できるとき，Sのn個の直積のHurwitz同値類の集合からTのkn個の直積のHurwitz同値類の集合への自然な全射が存在する」について，さらに一般化できないかを考え，これについて独立に論文執筆を進める。
【単純曲線についての研究】
山本亮介氏と共同で作成した，穴あき円盤内の単純曲線の連結成分数を求めるための線形代数的なアルゴリズムについて，既存のアルゴリズム（特にDynikov座標を用いたアルゴリズム）との比較を行う予定である。
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| Causes of Carryover |
2020年に始まった新型コロナウイルス流行により，対面による研究集会開催や研究打合せの機会が減少し（殆どがオンラインでの実施となり），ここ３年間の当初の旅費の支出が予定額よりも大幅に少なくなったため，次年度使用額が生じた。今年度（2023年度）については，国内外の対面での研究集会に積極的に参加し，情報交換を活発に行っていく予定である。
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Research Products
(8 results)
