2019 Fiscal Year Research-status Report
The theory of weights, evolution and refinement
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19K03510
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| Research Institution | Tsukuba University of Technology |
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Principal Investigator |
田中 仁 筑波技術大学, 障害者高等教育研究支援センター, 講師 (70422392)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 加重の理論 / Hausdorff content / L^p空間 / Orlicz空間 / 共役空間 / sparse作用素 / 分数べき作用素 / Fefferman-Stein型不等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
荷重の理論は，作用素の荷重付ノルム不等式を統制するための理論であり，作用素の値域に関する情報を陽的に与えることのできる理論です．本研究は，いくつかの作用素について，その荷重の理論の進化と精密化とを企図しています．
(A)種々の作用素について，Hausdorff contentという量により定義されたL^p空間において，Lebesgue測度では得られない〈量的により精密な荷重の理論〉の研究を進めました．L^p空間を，Lebesgue測度に変えてHausdorff contentという量により定義します．すると，1よりも真に小さな指数でHardy-Littlewoodの最大作用素は有界となることが知られています．不思議なことに，この1より小さな指数の範囲では，種々の作用素について，Lebesgue測度では得られない〈量的により精密な荷重の理論〉が展開できることが我々の研究を通して明らかにされました．我々は，この空間が実はBlock分解可能であるという単純な構造を持っていることを新たに見出し，それに依拠して〈量的により精密な荷重の理論〉を展開しました．
(B)分数べき積分作用素について，そのborderlineにおけるFefferman-Stein型の不等式のOrliczノルムを用いた精密化を企図して研究を進めました．
(C) Hausdorff contentという量により定義されたL^p空間において，その共役空間の特徴付けを与える研究を進めました．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
(B)近年，加重の理論の進展を受け，複雑な得意積分作用素が圧倒的に単純なsparse作用素により各点において支配されることが明らかにされました．Carlos Domingo-Salazar, Michel Lacy, Guillermo REYは，sparse作用素をさらに丹念に分解することから，得意積分作用素のborderlineにおけるFefferman-Stein型の不等式のOrliczノルムを用いた精密化に成功しました．我々はこの新たな手法を適用することで，分数べき積分作用素のborderlineにおけるFefferman-Stein型の不等式のOrliczノルムを用いた精密化を企図して研究を進めています．ずいぶん時間をかけて調べています。しかし、目標としている結果は未だ得られていません．
(C) Hausdorff contentという量により定義されたL^p空間の共役空間の理論は，D. R. Adamsの基本的な論文“Choquet integrals in potential theory”Publ. Mat., 42 (1998), no.1, 3--66において展開されています．今回これを再度読み返すうちに、基礎付けとなる一つの不等式の証明に明らかな不備を発見し，改めてその証明を与えることに成功しました．20年間正しくない可能性のある事実が信じられていたことに驚いています．
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| Strategy for Future Research Activity |
(A)については基本的に完成されたものと考えています．しかし，この空間について「block分解可能である」という我々が新たに見出した事実の応用を進めます．
(B)については多くの時間を費やして考えてきました．sparseの尺度と分数べきの尺度が異なっているところが難しさの原因となっています．研究を進めるうちに，Lacy等の非常に興味深い基本的な手法を我々の問題に適用することは正しくないということが明らかになりました．すなわち，我々の問題は彼らの手法を適用すべき範疇の外に存在していることが見えてきました．そして，現在我々の問題は初等的な幾何的問題に帰着できるであろうことが分かっています．この幾何的問題の解決を進めます．
(C)についても我々が新たな証明のために見出した手法を応用できる研究を進めます．
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| Causes of Carryover |
海外での研究報告を予定していました．しかし，適切な発表の機会を得られず，これを次年度以降に使用いたします．
支援機器の購入を予定していました．これは次年度以降に新たなより改善された機器が発表予定であり，それに向けて使用を保留しています．
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Research Products
(2 results)
