2019 Fiscal Year Research-status Report
時間的・空間的に相互作用をもつ格子確率モデルに関する精密な極限定理
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19K03514
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| Research Institution | Yokohama National University |
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Principal Investigator |
竹居 正登 横浜国立大学, 大学院工学研究院, 准教授 (60460789)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | ランダムウォーク / パーコレーション / 至る所微分不可能な連続関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究計画に従って空間的・時間的に相互作用をもつ確率モデルの研究を進め，本年度次のような成果が得られた．
(1) 記憶をもつランダムウォークの一種であるElephant Random Walkについて，極限定理の研究を行なった．記憶の効果が強く優拡散的になる場合に，記憶によって生み出されるランダムなドリフトからのゆらぎがGauss型であることを証明した．また，記憶に頼らない場合の推移確率が漸近的に対称ランダムウォークのそれに近づくとき，この近づき方の速さに応じて極限挙動に変化が起きることを示した．
(2) Elephant Random Walkは，uniform random recursive treeの上のパーコレーション問題と密接な関連をもつ．このパーコレーション問題における原点のクラスターの大きさの情報をよく反映する，Elephant Random Walkの変形版について研究を行った．原点のクラスターの大きさの全ての次数の階乗モーメントを正確に求めたほか，原点のクラスターの大きさに対する中心極限定理と重複対数の法則を全パラメター領域で証明した．
(3) 至る所微分不可能な連続関数の有名な例である高木関数を一般化して得られる連続関数のクラスにおいて，極限関数への収束の速さを調べる際にElephant Random Walkの場合と似た構造があることに着目し，典型的な点における収束の速さを確率論の極限定理を用いて記述する研究を行なった．元祖の高木関数では大数の法則に相当するものが通常の意味では成立しないことも示した．
これらの成果を論文としてとりまとめて学術雑誌に投稿し，(1), (3)についてはすでに受理・掲載されている．さらに，進捗状況・成果の発表を各地で行なった．また，昨年度学術雑誌に投稿した強化ランダムウォークの極限挙動・極限定理に関する論文2篇も受理・掲載された．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
パーコレーションにおける極限定理の精密化や辺強化型ランダムウォークの極限挙動の研究は，研究の進捗が計画よりもやや遅れている感があるものの，これまでに得られている成果をとりまとめつつ，基本に立ち返った研究を行なっている．次年度の研究につながる考察と，関連して取り組むべき課題を見出しつつある．特に，半直線上の辺強化型ランダムウォークの極限挙動の研究は，もう一段階以上推し進められる可能性があると考えている．
一方，パーコレーションの問題と関連した記憶をもつランダムウォークの一種であるElephant Random Walkについては，当初計画に含まれない部分まで研究が進展している．また，この研究から派生して，微分不可能な連続関数について精密な極限定理を証明するなど，副次的な成果も生まれている．
以上のことから，総合的に判断して「おおむね順調に進展している」と考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
パーコレーションにおける種々の極限定理について，本年度の積み上げをさらに推し進めて新たな成果を得ることを目指す．とくに，ファーストパッセージパーコレーションにおける最適経路の性質の解明を一つの軸とする．強化型ランダムウォークに関しても，木グラフ上のモデルについてさらに精密な極限定理が得られないか考察を進める．これらを両輪とした研究推進により，パーコレーションにおける極限定理の精密化への道すじをつけてゆく．
これらの研究を推進するために，最新の数学書を購入し情報を収集する必要がある．また，パーコレーションや記憶のあるランダムウォークについて活発に研究している国内外の研究者を訪問・招聘して意見交換を行なう．得られた成果については主に国内の研究集会において発表し，参加者と討論することでさらなる深化を目指す．
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| Causes of Carryover |
(理由) 2020年3月までに発行予定で購入を計画していた数学専門図書が未刊行であるため．
(使用計画) 購入を計画している数学専門図書が刊行され次第速やかに購入し速やかに研究計画遂行に役立てる．
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